一道极限题

Posted 2020-08-12 张文彪的博客

证明: $$\lim_{n\to+\infty}\cos^{n}\left(\frac{1}{x}\right)dx=0$$

证明：作变量替换 $u=\frac{1}{x}$, 则有
\begin{align*}
\int_{1}^{\infty}\left|\frac{\cos^{n}u}{u^{2}}\right| du&=\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\left|\frac{\cos^{n}u}{u^{2}}\right| du+\sum_{k=0}^{\infty}\int_{\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi}^{\left(k+\frac{3}{2}\right)\pi}\left|\frac{\cos^{n}u}{u^{2}}\right| du\\
&\leq \cos^{n} 1 \int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{u^{2}}du+\frac{4}{\pi^{2}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{2}}\int_{0}^{\pi}|\cos^{n}u|du\\
&=\cos^{n} 1 \int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{u^{2}}du+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}|\cos^{n}u|du
\end{align*}
令$n\to \infty$,知 $\cos^{n} 1\to 0, \int_{0}^{\pi}|\cos^{n}u|du \to 0$. 这是由于
$$ \int_{0}^{\pi}|\cos^{n}u|du=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n}u du=2 I_{n}$$
由于单调有界收敛原理知$n\to \infty$极限必然存在. 所以考虑偶序列递推公式和 Wallis 公式
$$I_{2n}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}\sim\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1}{2n}},\, n\to \infty$$