dp合唱队形

Posted 2020-08-12 快扶哀家去刷题

例题二 

合唱队形

(chorus.pas/c/cpp)

来源：NOIP2004(提高组) 第一题

     N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。

    合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，  则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。

    你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

【输入文件】

    输入文件chorus.in的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。

【输出文件】

    输出文件chorus.out包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

【样例输入】

8

186 186 150 200 160 130 197 220

【样例输出】

4

【数据规模】

对于50％的数据，保证有n<=20；

对于全部的数据，保证有n<=100。

【问题分析】

  出列人数最少，也就是说留的人最多，也就是序列最长。

这样分析就是典型的最长下降子序列问题。只要枚举每一个人站中间时可以的到的最优解。显然它就等于，包括他在内向左求最长上升子序列，向右求最长下降子序列。

我们看一下复杂度：

计算最长下降子序列的复杂度是O（N2），一共求N次，总复杂度是O（N3）。这样的复杂度对于这个题的数据范围来说是可以AC的。但有没有更好的方法呢？

其实最长子序列只要一次就可以了。因为最长下降（上升）子序列不受中间人的影响。

只要用OPT1求一次最长上升子序列，OPT2求一次最长下降子序列。这样答案就是N-max(opt1[i]+opt2[i]-1).

 复杂度由O（N3）降到了O（N2）。

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<string>
 4 #include<vector>
 5 #include<set>
 6 #include<queue>
 7 #include<map>
 8 #include<stack>
 9 #include<iterator>
10 #include<cstdio>
11 #include<cstring>
12 #include<cstdlib>
13 #include<cmath>
14 using namespace std;
15 typedef long long ll;
16 typedef unsigned long long ull;
17 #define clr(c) memset(c, 0, sizeof(c));
18 #define pi acos(-1.0)
19 const int INF = 0x3f3f3f3f;
20 const int mod = 1e9 + 7;
21 const double eps = 1e-8;
22 typedef struct point{
23     int x, y;
24     bool operator < (const point& p) const{
25         if (x == p.x) return y < p.y;
26         else return x < p.x;
27     }
28     bool operator >(const point& p) const{
29         return p < *this;
30     }
31 }p;
32 
33 int a[105], n;
34 int dp1[105];
35 int dp2[105];
36 
37 int main(){
38     while(~scanf("%d", &n)){
39         for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
40 
41         for(int i = 0; i < n; i++) dp1[i] = 1;
42         for(int i = 1; i < n; i++){
43             for(int j = 0; j < i; j++){
44                 if(a[i] > a[j] && dp1[j]+1 > dp1[i]) dp1[i] = dp1[j]+1;
45             }
46         }
47 
48         for(int i = 0; i < n; i++) dp2[i] = 0;
49         for(int i = n-1; i >= 0; i--){
50             for(int j = i; j < n; j++){
51                 if(a[i] > a[j] && dp2[j]+1 > dp2[i]) dp2[i] = dp2[j]+1;
52             }
53         }
54 
55         int ans = 0;
56         for(int i = 0; i < n; i++){
57             if(ans < dp1[i]+dp2[i]) ans = dp1[i]+dp2[i];
58         }
59 
60         //for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", dp1[i]); printf("\n");
61         //for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", dp2[i]); printf("\n");
62         printf("%d\n", ans);
63     }
64 
65     return 0;
66 }