第1章习题

Posted 2020-08-12

1. 证明$m \times n$棋盘被多米诺骨牌完美覆盖当且仅当$m$和$n$中至少有一个是偶数。

证明：$m \times n$棋盘被$t$个多米诺骨牌完全覆盖，于是$mn = 2t$，则$2 | mn$，考虑到$2$是素数，因此$2 | m$或$2 | n$，即$m$和$n$中至少有一个是偶数，证毕。

2. 考虑$m$和$n$都是奇数的$m \times n$棋盘。为了固定表记方式，假设棋盘左上角的方格被着成白色。证明如果切掉棋盘上任意一个白方格，那么这张切过的棋盘有多米诺骨牌完美覆盖。

证明：考虑切掉位于位置$(r, c)$的白格，该白格将剩余棋盘分割为$4$个部分，分别为$(r, c - 1)$，$(r - 1, n - c + 1)$，$(m - r + 1, n - c)$，$(m - r, c)$。注意到$(1, 1)$是白格，白格$(r, c)$满足

$r + c$为偶数，于是$r + c \equiv 0(\text{mod } 2)$由于：

$(r, c - 1) \rightarrow r + c - 1 \equiv -1(\text{mod }2) \equiv 1(\text{mod }2)$；

$(r - 1, n - c + 1) \rightarrow r - c + n \equiv r - c + 1(\text{mod }2) \equiv 2c + 1(\text{mod }2)\equiv 1(\text{mod }2)$；

$(r, c - 1) \rightarrow m + n - r - c + 1 \equiv m + n + 1(\text{mod }2)\equiv 1(\text{mod }2)$；

$(r, c - 1) \rightarrow m + c - r \equiv 2r+1(\text{mod }2) \equiv 1(\text{mod }2)$；

结合$1$题中结论，它们分别存在完美覆盖，于是剩余棋盘存在完美覆盖。证毕。

3. 想象一座由$64$个囚室组成的监狱，这些囚室被排列成$8 \times 8$棋盘。所有相邻的囚室间都有门。某角落处一间囚室的囚犯被告知，如果他能够经过其它每一个囚室恰好一次之后，达到对角线上相对的另一间囚室，那么他就可以获释。他能够获得自由吗？

解：不能。

 证法1：考虑到经过每个囚室恰一次，他需要移动$64 - 1 = 63$次，那么我们将$(1, 1)$着成白色，他到达的位置必然是黑格，因为每走一步所在方格颜色反转一次，而$(8, 8)$是白格。所以他不可能止步于终点。

证法2：假设对于$m \times n$的方格存在合法的路径到达对角方格，那么显然$M \times n$也存在合法路径，其中$M = m + 2$，于是我们可以将该问题归约为是否存在$2 \times 2$的方格上的合法路径，经过简单尝试知道不存在。

4. （a）设$f(n)$计数$2 \times n$棋盘的多米诺骨牌完美覆盖的数量。估计一下$f(1), f(2), f(3), f(4)$和$f(5)$。试寻找（或证明）这个计数函数$f$满足的简单关系。利用这个关系计算$f(12)$。

　（b）设$g(n)$是$3 \times n$棋盘的多米诺骨牌完美覆盖的数量。估计$g(1), g(2), ..., g(6)$。

解：（a）这里直接给出结论：$f(1) = 1$，$f(2) = 2$，$f(n) = f(n -1) + f(n - 2) (n > 2)$。

　　（b）直接给出答案（可以使用分解法找出迭代关系）：$g(1) = 0, g(2) = 3, g(3) = 0, g(4) = 9, g(5) = 0, g(6) = 33$。

5. 求$3 \times 4$棋盘的多米诺骨牌完美覆盖的个数。

解：$9$。

6. 考虑下面的棋盘问题的三维形式：定义三维多米诺骨牌是这样的一个几何图形，它是由变成为一个单位的两个立方体面对面连接起来的几何体。证明有可能由多米诺骨牌构造出一个边长为$n$个单位的立方当且仅当$n$是偶数。如果$n$是奇数，是否有可能构造出一个边长为$n$个单位的正方体，且其中心部分有一个$1 \times 1$的洞呢？

解：证明：

　　充分性：若$n$是偶数，由$1$题中结论，存在对于$n \times n \times 1$的完美覆盖，因此显然存在对于$n \times n \times n$的完美覆盖。

　　必要性：若$n$为奇数，若存在完美覆盖且使用三位多米诺骨牌$t$个，于是$2t = n ^ 3$，由于$n$为奇数，$n^3 \equiv 1(\text{mod } 2)$，矛盾。因此$n$是偶数。

　　

　　考虑到若对于$n \times n$，进行黑白着色，那么主对角线方格同色，使用$2$题中结论，易证存在完美覆盖。

7. 设$a$和$b$是正整数且$a$是$b$的因子。证明$m \times n$棋盘有$a \times b$牌的完美覆盖当且仅当$a$既是$m$的因子又是$n$的因子，而$b$是$m$或$n$的因子。

证明：

　　充分性：记$C = \frac{b}{a}$，不失一般性地设$b | m$，由于$a | m$且$a | n$，考虑棋盘$\frac{m}{a} \times \frac{n}{a}$存在$1 \times C$的完美覆盖，这是因为$b | m$即$aC | m$即$C | \frac{m}{a}$，因此只需将按比例放大$a$倍，得到棋盘$m \times n$存在$a \times b$的完美覆盖。

　　必要性：由于$m \times n$存在$a \times b$的完美覆盖，因此存在$1 \times b$的完美覆盖，因此$b$是$m$或$n$的因子。注意到$a \times a$是$a \times b$的完美覆盖，因此$a \times a$是$m \times n$的完美覆盖，显然$a$即是$m$的因子又是$n$的因子。证毕。

8. 利用习题7证明当$a$是$b$的因子时，$m \times n$棋盘有$a \times b$的完美覆盖当且仅当这个棋盘有平凡完美覆盖，其中所有的牌都指向相同的方向。

证明：

　　充分性：显然。

　　必要性：由于$m \times n$有$a \times b$的完美覆盖，于是$a$是$m$和$n$的因子，$b$是$m$或$n$的因子。不失一般性地，假设$b$是$n$的因子，只需证明$a \times b$是$m \times b$的完美覆盖，只需证明$a \times 1$是$m \times 1$的完美覆盖，由于$a | m$，于是得证。

９. 证明当$a$不是$b$的因子时，练习题8的接邻不一定成立。

解：举一反例：$6 \times 5$有$2 \times 3$的完美覆盖如下，但$2 \nmid 5$。