Codeforces 719E [斐波那契区间操作][矩阵快速幂][线段树区间更新]

Posted 2020-08-12 徐暾

/*
题意：给定一个长度为n的序列a。
两种操作：
1.给定区间l r 加上某个数x.
2.查询区间l r sigma(fib(ai)) fib代表斐波那契数列。
思路：
1.矩阵操作，由矩阵快速幂求一个fib数根据矩阵的乘法结合率，A*C+B*C=(A+B)*C; 这样可以通过线段树维护某个区间2*1矩阵的和。
2.时限卡的紧...用我的矩阵乘法板子TLE了。所以把板子里边的三重循环改成手工公式...
3.注意(a+b)%mod。这种，改成if(a+b>=mod)a+b-mod这种形式时间几乎减半了==...（因为查询和更新操作每次都要把两个矩阵加起来...所以这种优化在这题来说作用明显）
4.注意lazy标记不要记录要乘多矩阵多少次方...而是直接记录该矩阵...这是最重要的一个优化（个人认为）.因为每次向下层更新都要求一次矩阵...
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define N 100020
#define MAXS 2
using namespace std;
long long jilu[N];
long long jil[N];
long long MOD =1e9+7;
struct Matrix
{
    long long mx[MAXS][MAXS];
    Matrix()
    {
        memset(mx,0,sizeof(mx));
    }
    Matrix operator* (const Matrix& b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.mx[0][0]=mx[0][0]*b.mx[0][0]+mx[0][1]*b.mx[1][0];
        if(tmp.mx[0][0]>=MOD)tmp.mx[0][0]%=MOD;
        tmp.mx[0][1]=mx[0][0]*b.mx[0][1]+mx[0][1]*b.mx[1][1];
        if(tmp.mx[0][1]>=MOD)tmp.mx[0][1]%=MOD;
        tmp.mx[1][0]=mx[1][0]*b.mx[0][0]+mx[1][1]*b.mx[1][0];
        if(tmp.mx[1][0]>=MOD)tmp.mx[1][0]%=MOD;
        tmp.mx[1][1]=mx[1][0]*b.mx[0][1]+mx[1][1]*b.mx[1][1];
        if(tmp.mx[1][1]>=MOD)tmp.mx[1][1]%=MOD;
        return tmp;
    }

    Matrix operator +(const Matrix &b)const{
        Matrix tmp;
        for(int i=0;i<2;i++){
            for(int j=0;j<2;j++){
                tmp.mx[i][j]=(mx[i][j]+b.mx[i][j]);
                if(tmp.mx[i][j]>=MOD)tmp.mx[i][j]-=MOD;
            }
        }
        return tmp;
    }
    void initE()
    {
        memset(mx,0, sizeof(mx));
        for (int i=0 ; i<2 ; i++)
        {
            mx[i][i]=1;
        }
    }

    Matrix mpow(long long  k)
    {
        Matrix c,b;
        c=(*this);

        b.initE();
        while(k)
        {
            if(k&1)
            {
                b=b*c;
            }
            c=c*c;
            k>>=1;
        }
        return b;
    }
};
Matrix biao,ben;
struct tr{
    Matrix val,tt;
    long long aa;
    int s,e;
};
tr tree[100050<<2];
void build(int s,int e,int k){
    tr &tmp=tree[k];
    tmp.s=s;tmp.e=e;tmp.aa=0;
    tmp.tt.initE();
    if(s==e){
        tmp.val.mx[0][0]=jilu[s];
        tmp.val.mx[1][0]=jil[s];
        return;
    }
    int mid=(s+e)>>1;
    build(s,mid,k<<1);
    build(mid+1,e,k<<1|1);
    tmp.val=tree[k<<1].val+tree[k<<1|1].val;
}
void add(int s,int e,int k,int num){
    tr &tmp=tree[k];
    if(s==tmp.s&&e==tmp.e){
        Matrix ttt=biao.mpow(num);
        tmp.tt=ttt*tmp.tt;
        tmp.val=ttt*tmp.val;
        tmp.aa+=num;
        return;
    }
    if(tmp.aa){
        tree[k<<1].aa+=tmp.aa;
        tree[k<<1].val=tmp.tt*tree[k<<1].val;
        tree[k<<1].tt=tmp.tt*tree[k<<1].tt;
        tree[k<<1|1].aa+=tmp.aa;
        tree[k<<1|1].val=tmp.tt*tree[k<<1|1].val;
        tree[k<<1|1].tt=tmp.tt*tree[k<<1|1].tt;
        tmp.tt.initE();
        tmp.aa=0;
    }
    int mid=(tmp.s+tmp.e)>>1;
    if(e<=mid)add(s,e,k<<1,num);
    else if(s>mid)add(s,e,k<<1|1,num);
    else{
        add(s,mid,k<<1,num);
        add(mid+1,e,k<<1|1,num);
    }
    tmp.val=tree[k<<1].val+tree[k<<1|1].val;
}
long long query(int s,int e,int k){
    tr &tmp=tree[k];
    if(tmp.s==s&&tmp.e==e){
        return tmp.val.mx[0][0];
    }
    if(tmp.aa){
        tree[k<<1].aa+=tmp.aa;
        tree[k<<1].val=tmp.tt*tree[k<<1].val;
        tree[k<<1].tt=tmp.tt*tree[k<<1].tt;
        tree[k<<1|1].aa+=tmp.aa;
        tree[k<<1|1].val=tmp.tt*tree[k<<1|1].val;
        tree[k<<1|1].tt=tmp.tt*tree[k<<1|1].tt;
        tmp.tt.initE();
        tmp.aa=0;
    }
    int mid=(tmp.s+tmp.e)>>1;
    if(e<=mid)return query(s,e,k<<1);
    else if(s>mid)return query(s,e,k<<1|1);
    else return (query(s,mid,k<<1)+query(mid+1,e,k<<1|1))%MOD;
}
int main()
{
    int n,m;
    biao.mx[0][0]=biao.mx[0][1]=biao.mx[1][0]=1;
    ben.mx[1][0]=ben.mx[0][0]=1;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",jilu+i);
        if(jilu[i]==1){
            jil[i]=0;
        }
        else if(jilu[i]==2){
            jilu[i]=1;
            jil[i]=1;
        }
        else{
            Matrix rel=biao.mpow(jilu[i]-2)*ben;
            jilu[i]=rel.mx[0][0];
            jil[i]=rel.mx[1][0];
        }
    }
    build(1,n,1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int typ,l,r,x;
        scanf("%d",&typ);
        if(typ==1){
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
            add(l,r,1,x);
        }
        else{
            scanf("%d%d",&l,&r);
            printf("%lld\n",query(l,r,1));
        }
    }
}