POJ 2891 Strange Way to Express Integers 中国剩余定理MOD不互质数字方法

Posted 2020-08-12 stupid_one

http://poj.org/problem?id=2891

7
11323 9793
5537 4754
21538 10901
16118 203
2082 1209
22929 9510
16541 15898

4
18373 16147
8614 14948
8440 17480
22751 21618
6
19576 8109
18992 24177
9667 17726
16743 19533
16358 12524
8280 22731
4
9397 38490
22001 25094
33771 38852
19405 35943

ans

32439
13052907343337200
-1
78383942913636233

题目mod的数字并不互质，那怎么办呢？

记mod[i]表示第i个mod的数字，r[i]表示余数，那么观察前两项

总有X = k1 * mod[1] + r[1];

      X = k2 * mod[2] + r[2];

那么k1 * mod[1] - k2 * mod[2] = r[2] - r[1]

这是可以用扩展欧几里德算法求得最小的解k1 (k1可以等于0，不一定要>0，我就是规定满足k1>0后不断溢出，所以wa)

那么得到满足前两个数字的解是（就是满足%mod[1] = r[1] ， %mod[2] = r[2]）的解。ansx = k1 * mod[1] + r[1]

然后往下合并

怎么往下合并呢？

就是把前面两条等式，变成了 % lcm(mod[1], mod[2]) = rr了，这个rr可以自己解出来，ansx % lcm(mod[1], mod[2])就是了

 

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>

const int maxn = 500 + 20;
LL mod[maxn];
LL r[maxn];
LL gcd(LL n, LL m) {
    if (n % m == 0) return m;
    else return gcd(m, n % m);
}
LL lcm(LL n, LL m) {
    return n / gcd(n, m) * m;
}
LL exgcd (LL a,LL mod,LL &x,LL &y) {
    //求解a关于mod的逆元     ★：当且仅当a和mod互质才有用
    if (mod==0) {
        x=1;
        y=0;
        return a;//保留基本功能，返回最大公约数
    }
    LL g=exgcd(mod,a%mod,x,y);
    LL t=x;    //这里根据mod==0  return回来后，
    x=y;    //x,y是最新的值x2,y2,改变一下，这样赋值就是为了x1=y2
    y=t-(a/mod)*y;    // y1=x2(变成了t)-[a/mod]y2;
    return g;            //保留基本功能，返回最大公约数
}
bool get_min_number (LL a,LL b,LL c,LL &x,LL &y) {  //得到a*x+b*y=c的最小整数解
    LL abGCD = gcd(a,b);
    if (c % abGCD != 0) return 0;//不能整除GCD的话，此方程无解
    a /= abGCD;
    b /= abGCD;
    c /= abGCD;
    LL tx,ty;
    exgcd(a,b,tx,ty); //先得到a*x+b*y=1的解，注意这个时候gcd(a,b)=1
    x = tx * c;
    y = ty * c; //同时乘上c，c是约简了的。得到了一组a*x + b*y = c的解。
    LL haveSignB = b;
    if (b < 0) b = -b;   //避免mod负数啊
    x = (x % b + b) % b; //最小解
//    if (x == 0) x = b; //避免x = 0不是"正"整数  不要用这个，溢出
    y = (c - a * x) / haveSignB;
    return 1;//1代表可以
}
int n;
void work () {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%lld%lld", &mod[i], &r[i]);
    }
    LL mm = mod[1];
    LL rr = r[1];
    LL ansx = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        LL x, y;
        int ret = get_min_number(mm, -mod[i], r[i] - rr, x, y);
        if (ret == 0) {
            printf("-1\\n");
            return;
        }
        ansx = x * mm + rr;
        mm = lcm(mm, mod[i]);
        rr = ansx % mm;
    }
    printf("%lld\\n", rr);
    return;
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt","r",stdin);
#endif
    while(scanf("%d", &n) != EOF && n) {
        work();
    }
    return 0;
}

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为什么rr就是最小解呢？余数当然是最小的解啊。。。