[SCOI2005] 最大子矩阵

Posted 2020-08-12 神犇(shenben)

P2331 [SCOI2005] 最大子矩阵

题目描述

这里有一个n*m的矩阵，请你选出其中k个子矩阵，使得这个k个子矩阵分值之和最大。注意：选出的k个子矩阵不能相互重叠。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行为n,m,k（1≤n≤100,1≤m≤2,1≤k≤10），接下来n行描述矩阵每行中的每个元素的分值(每个元素的分值的绝对值不超过32767)。

 

输出格式：

 

只有一行为k个子矩阵分值之和最大为多少。

 

输入输出样例

输入样例#1：

3 2 2
1 -3
2 3
-2 3

输出样例#1：

9

题解：

注意到m=1或者2，

当m=1时，是普通的最大连续字段和，只不过是k个：

设dp[i][j]表示前i个数中取出j个矩形的最大和

转移：

选：dp[i][j]=max{dp[l][j-1]+s[i]-s[l-1]}

不选：dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j])

复杂度O(n^2*K)

当m=2时，设f[i][j][k]表示第一列选到第i个数，第二列选到第j个数时，总共k个子矩形的答案

转移有4种情况

当这一位什么都不做的时候：f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],f[i][j-1][k])

当仅选取第一列的某段区间时：f[i][j][k]=max(f[l][j][k-1]+sum[i][1]-sum[l-1][1])  1<=l<i

当仅选取第二列的某段区间时：f[i][j][k]=max(f[i][l][k-1]+sum[j][2]-sum[l-1][2])  1<=l<j

当i==j时，可以选取两列一起的f[i][j][k]=max(f[l][l][k]+sum[i][1]+sum[i][2]-sum[l-1][1]-sum[l-1][2])

最后所有情况取max

复杂度O(n^3*K)

 

Ps:这道题数据有bug，似乎没有在一开始赋值为-INF的也能过

AC代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
const int M=11;
int n,m,K,s1[N],s2[N],dp[N][M],f[N][N][M];
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
    if(m==1){
        for(int i=1,x;i<=n;i++) scanf("%d",&x),s1[i]=s1[i-1]+x;
        for(int k=1;k<=K;k++){
            for(int i=1;i<=n;i++){
                dp[i][k]=dp[i-1][k];
                for(int j=0;j<i;j++) dp[i][k]=max(dp[i][k],dp[j][k-1]+s1[i]-s1[j]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[n][K]);
    }
    else{
        for(int i=1,x,y;i<=n;i++) scanf("%d%d",&x,&y),s1[i]=s1[i-1]+x,s2[i]=s2[i-1]+y;
        for(int k=1;k<=K;k++){
            for(int i=1;i<=n;i++){
                for(int j=1;j<=n;j++){
                    f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],f[i][j-1][k]);
                    for(int l=0;l<i;l++) f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[l][j][k-1]+s1[i]-s1[l]);
                    for(int l=0;l<j;l++) f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i][l][k-1]+s2[j]-s2[l]);
                    if(i==j)  for(int l=0;l<i;l++) f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[l][l][k-1]+s1[i]-s1[l]+s2[j]-s2[l]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",f[n][n][K]);
    }
    return 0;
}