错排问题

Posted 2020-08-11

什么是错排问题？

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排.

2种计算错排方法

1.递推

有n个元素，考虑放第一个元素为i，放在位置k上。有n-1种方法，再考虑第k个元素，如果放在第i个位置上，，等价于n-2个元素的错排问题，如果不放在第i个位置上，等价于n-1个元素的错排问题，

因此，f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2]);

2.容斥原理

有n个元素，共有n!排列方式.

设集合Ai表示，第i个位置的元素在第i个位置上的全排列数，有(n-1)!。考虑Ai与Aj的交集,等价于去掉第i个位置和第j个位置的全排列数即(n-2)!

同理Ai,Aj,Ak的交集为(n-3)!....依此类推

然后直接容斥原理就行了 

参考博客http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8159679

题目

HDU2048

代码:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;
using namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define se second
#define fs first
#define ll long long
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MC(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define FOR(it,c) for(__typeof((c).begin()) it=(c).begin();it!=(c).end();it++)
typedef pair<int,int> P;
const double eps=1e-9;
const int maxn=100100;
const int N=1e9;
const int mod=1e9+7;

ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
//-----------------------------------------------------------------------------


double mu[25],f[25];


int main(){
    mu[1]=1;
    for(int  i=2;i<=20;i++) mu[i]=mu[i-1]*double(i);
    f[1]=0.0;f[2]=1.0;
    for(int i=3;i<=20;i++) f[i]=(double)(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
    //cout<<f[20]<<endl;
    //cout<<mu[20]<<endl;
    int c,n;
    scanf("%d",&c);
    while(c--){
        scanf("%d",&n);
        printf("%.2lf",f[n]/mu[n]*100.0);
        printf("%%\n");
    }
}

HDU2049

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;
using namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define se second
#define fs first
#define ll long long
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MC(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define FOR(it,c) for(__typeof((c).begin()) it=(c).begin();it!=(c).end();it++)
typedef pair<int,int> P;
const double eps=1e-9;
const int maxn=100100;
const int N=1e9;
const int mod=1e9+7;

ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
//-----------------------------------------------------------------------------

int T,n,m;
ll f[25],d[25];



int main(){
    f[1]=0;f[2]=1;
    for(int i=3;i<=20;i++) f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
    d[1]=1;d[0]=1;
    for(int i=2;i<=20;i++) d[i]=d[i-1]*i;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ll tmp=d[n]/(d[m]*d[n-m]);
        printf("%lld\n",f[m]*tmp);
    }
}