生成树相关问题

Posted 2020-08-10

关于生成树的两个性质：

（1）切割性质。假定所有边权均不相同。设$S$为既非空集也非全集的$V$的子集，边$e$是满足一个端点在$S$内，另一个端点在$V \setminus S$内所有边权最小的一个，则图$G$的所有最小生成树均包含$e$。

说明：设$T=V\setminus S$，则图$G$的任一生成树包含$S-T$割中的一条边（连通性）。考虑$e$作为$S-T$中唯一权值最小的边，则$MST（V）= MST(T) + MST(S) + e$，这是显然的。

（2）回路性质。