值得一做》关于数学与递推 BZOJ1002 （BZOJ第一页计划）（normal+）

Posted 2020-08-10

　　什么都不说先甩题目

Description

　　轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示

　　N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示

　　现给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒

 

Input

　　第一行有1个正整数n

Output

　　计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16

 

 

 

　　这道题其实思路应该是生成树计数问题，但是很明显的，本题给出的数据范围对于一般使用的Matrix-Tree定理(Kirchhoff矩阵-树定理)来说数据范围有点大，所以在这里Matrix-Tree只作为暴力算法，正解得出的方法是用奇怪的递推式。

　　首先来讲讲Matrix-tree，具体方法是这样：

　　一，首先得出一个点的度的矩阵A，定义为：对于当前矩阵A[i][j]来说，只有在当前i=j的情况下，A[i][j]为第i个点的度数，其他点为0；

　　二，得出一个关于边的矩阵B，定义为：对于当前的矩阵B[i][j]来说，当i与j相连的情况下，B[i][j]为1，其他点为0；

　　最后得出一个最终矩阵C，对于C的定义为：C[i][j]=A[i][j] - B[i][j]；

　　我们在最后的计算前要对矩阵C做一件玄学的事情：以一个对角线数字作为关键点，消掉该关键带点所在横行于纵行所有点（包括自己），把剩下的点再拼成矩阵C（事关玄学）；

　　接下来就很简单了，把新矩阵C当做一组线性方程，然后用高斯消元对C来求解（只需要把由对角线切开的任意一个数字三角上的数全消为0即可），然后把对角线上的数字全部相乘，得出解；

 

 

　　贴出以这种方法写的n<20的暴力

 1 #include<stdio.h>
 2 double mp[110][110];
 3 int n;
 4 int main()
 5 {
 6     scanf("%d",&n);
 7     if(n==1){printf("1");return 0;}//来组特判 
 8     if(n==2){printf("5");return 0;}
 9     mp[1][1]=3,mp[1][n]=-1,mp[1][2]=-1,mp[n][n]=3,mp[n][1]=-1,mp[n][n-1]=-1;
10     for(int i=2;i<n;i++)mp[i][i-1]=mp[i][i+1]=-1,mp[i][i]=3;//以下是建立矩阵的过程 
11     for(int i=2;i<=n;++i)//对于这道题，把中间的点看做要消掉的点，建矩阵方法因人而异 
12     {
13         for(int j=1;j<i;++j)
14         {
15             double shit=(-mp[i][j])/mp[j][j];
16             for(int k=j;k<=n;++k)
17             mp[i][k]+=mp[j][k]*shit;
18         }
19     }
20     double ans=1;
21     for(int i=1;i<=n;i++)
22         ans*=mp[i][i];
23     printf("%d",(int)(ans+0.5));//四舍五入 
24     return 0;
25 }

Matrix-tree

　　但是这样并不能A，所以我们要想一种更优的解，

　　根据对打表数据的判断，可以得出g[i]=3*g[i-1]-g[i-2]+2的神奇结论；

　　这个公式好像要依靠对于数论的理解来分析（对于新加入的点对于全图的关系），得出递推式。

　　贴出正解代码

 1 #include<stdio.h>
 2 struct shit{
 3     int a[1000],len;
 4 }g[110];
 5 int n;
 6 shit c(shit x,int y)
 7 {
 8     for(int i=1;i<=x.len;i++)x.a[i]*=y;
 9     for(int i=1;i<=x.len;i++)
10     {
11         x.a[i+1]+=x.a[i]/10;
12         x.a[i]%=10;
13     }
14     if(x.a[x.len+1])x.len++;
15     return x;
16 }
17 shit j(shit x,shit y)
18 {
19     x.a[1]+=2;
20     int s=x.len;
21     shit z;
22     for(int i=1;i<=x.len;i++)
23     {
24         if(x.a[i]<y.a[i])x.a[i+1]--,x.a[i]+=10;
25         x.a[i]=x.a[i]-y.a[i];
26     }
27     while(x.a[x.len]==0)x.len--;
28     return x;
29 }
30 int main()
31 {
32     scanf("%d",&n);
33     g[1].a[1]=1,g[1].len=1;
34     g[2].a[1]=5,g[2].len=1;
35     for(int i=3;i<=n;++i)
36         g[i]=j(c(g[i-1],3),g[i-2]);
37     for(int i=g[n].len;i>=1;i--)printf("%d",g[n].a[i]);
38     return 0;
39     
40 } 

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另外还有一种思路提供参考

 

【规律】这里是1--15的打表情况：1 5 16 45 121 320 841 2205 5776 15125 39601 103680 271441 710645 1860496。很快先发现一个规律：第1、3、5、7位是平方数，2、4、6、8位除以5后也是平方数。

　　　　然后再整理：1*1 5*1*1 4*4 5*3*3 11*11 5*8*8 29*29 5*21*21 76*76 5*55*55 199*199 5*144*144 521*521。看着奇数位1,3,8,21,55。。。。。。灵光一现：这不是斐波那契的一半吗：1,2,3,5,8,13,21,24,55.。。。。。另外一个也能表示成类似的相加的数列：

奇数位：1 3 4 7 11 18 29 76

偶数位：1 2 3 5 8 13 21 34 55

主要结论来自于：http://blog.csdn.net/jiangshibiao/article/details/22645557

 

然后贴出以这种方式A的神犇的代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4 const int size=51;                 //这里的位数卡着n=100的情况，为了加速。
 5 struct arr{int num,p[size];}a,b,c;
 6 int i,n,j;
 7 arr add(arr a,arr b)
 8 {
 9   arr c;memset(c.p,0,sizeof(c.p));
10   c.num=a.num>b.num?a.num:b.num;
11   for (int i=1;i<=c.num;i++)
12     c.p[i]=a.p[i]+b.p[i];
13   for (int i=1;i<=c.num;i++)
14     c.p[i+1]+=c.p[i]/10,c.p[i]%=10;
15   if (c.p[c.num+1]) c.num++;
16   return c;
17 }
18 arr chen(arr a,arr b)
19 {
20   arr c;memset(c.p,0,sizeof(c.p));
21   for (int i=1;i<=a.num;i++)
22     for (int j=1;j<=b.num;j++)
23       c.p[i+j-1]+=a.p[i]*b.p[j];
24   c.num=a.num+b.num-1;
25   for (int i=1;i<=c.num;i++)
26     c.p[i+1]+=c.p[i]/10,c.p[i]%=10;
27   while (c.p[c.num+1])
28   {
29     c.num++;c.p[c.num+1]+=c.p[c.num]/10;c.p[c.num]%=10;
30   }
31   return c;
32 }
33 int main()
34 {
35   scanf("%d",&n);
36   switch (n) 
37   {
38     case 0:{printf("0");return 0;}
39     case 1:{printf("1");return 0;}
40     case 2:{printf("5");return 0;}
41   }
42   if (n%2==0)
43   {
44     a.p[1]=1;b.p[1]=2;a.num=1;b.num=1;
45     for (i=4;i<=n;i++)
46     {
47       c=add(a,b);
48       a.num=b.num;for (j=1;j<=a.num;j++) a.p[j]=b.p[j];
49       b.num=c.num;for (j=1;j<=b.num;j++) b.p[j]=c.p[j];
50     }
51     c=chen(c,c);
52     memset(a.p,0,sizeof(a.p));a.p[1]=5;a.num=1;c=chen(c,a);
53     for (i=c.num;i>0;i--)
54       printf("%d",c.p[i]);
55   }
56   else
57   {
58     a.p[1]=1;b.p[1]=3;a.num=1;b.num=1;
59     for (i=3;i<=n;i++)
60     {
61       c=add(a,b);
62       a.num=b.num;for (j=1;j<=a.num;j++) a.p[j]=b.p[j];
63       b.num=c.num;for (j=1;j<=b.num;j++) b.p[j]=c.p[j];
64     }
65     c=chen(c,c);
66     for (i=c.num;i>0;i--)
67       printf("%d",c.p[i]);
68   }
69   return 0;
70 }

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