161020-1解答

Posted 2020-08-10 张祖锦的数学博客

(1) 用反证法. 不妨设 $A$ 的后 $r$ 个行向量线性无关, 后 $r$ 个列向量线性无关, 若它们对应的行列构成的 $r$ 阶子式等于零, 则对 $A$ 的后 $r$ 行实行初等行变换, 有 $$\\bex A\\to \\sexm{ B_{m-1,n-r}&C_{m-1,r}\\\\ \\al_{1,n-r}&0_{1,r}}=H. \\eex$$ 由 $A$ 的后 $r$ 个行向量线性无关知 $\\al\\neq 0$; 由 $A$ 后 $r$ 个列向量线性无关知 $\\r(C)=r$. 于是 $$\\bex \\r(A)=\\r(H)\\geq \\r(C)+\\r(\\al)=r+1. \\eex$$ 这是一个矛盾. 故有结论.

 

题目见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/5797919.html