Codeforces Round #373 (Div. 2)

Posted 2020-08-10 oyzx~

A，B，C傻逼题，就不说了。

E题：

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cstring>
  4 #include <cmath>
  5 #include <algorithm>
  6 using namespace std;
  7 const int maxn=100005,mod=1000000007;
  8 typedef long long int64;
  9 int n,m,fuck[maxn<<2];
 10 int64 a[maxn],s1[maxn<<2],s2[maxn<<2];
 11 struct Matrix{
 12     int n,m;
 13     int64 a[2][2];
 14     void clear(){for (int i=0;i<2;i++)for (int j=0;j<2;j++)a[i][j]=0;}
 15 }wn,lazy[maxn<<2],a0,t1,t2,b;
 16 Matrix operator *(Matrix x,Matrix y){
 17     Matrix ans; ans.n=x.n,ans.m=y.m;
 18     ans.clear(); int N=ans.n,M=ans.m;
 19     for (int i=0;i<N;i++){
 20         for (int j=0;j<M;j++){
 21             for (int k=0;k<x.m;k++){
 22                 ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%mod;
 23             }
 24         }
 25     }
 26     return ans;
 27 }
 28 Matrix qpow(Matrix x,int64 y){
 29     if (y==0) return wn;
 30     if (y==1) return x;
 31     Matrix d=qpow(x,y/2); d=d*d;
 32     if (y&1) return d*x;
 33     else return d;
 34 }
 35 void build(int k,int l,int r){
 36     lazy[k]=wn; fuck[k]=-1;
 37     if (l==r) return;
 38     int mid=(l+r)>>1;
 39     build(k*2,l,mid),build(k*2+1,mid+1,r);
 40 }
 41 void pushdown(int k,Matrix x){
 42     Matrix y=x;
 43     int64 oy=s1[k],zx=s2[k],A,B,C;
 44     t1=a0*x; A=t1.a[0][0]; x=x*b;
 45     t1=a0*x; B=t1.a[0][0]; x=x*b;
 46     t1=a0*x; C=t1.a[0][0];
 47     s1[k]=(oy*A%mod+zx*B%mod)%mod;
 48     s2[k]=(oy*B%mod+zx*C%mod)%mod;
 49     if (fuck[k]!=-1){lazy[k]=lazy[k]*y,lazy[k]=lazy[k]*b;}
 50     else lazy[k]=y;
 51     fuck[k]=1;
 52 }
 53 void insert(int k,int l,int r,int x,int64 y1,int64 y2){
 54     if (l==r&&r==x){s1[k]=y1%mod,s2[k]=y2%mod;return;}
 55     int mid=(l+r)>>1;
 56     if (x<=mid) insert(k*2,l,mid,x,y1,y2);
 57     else insert(k*2+1,mid+1,r,x,y1,y2);
 58     s1[k]=(s1[k*2]+s1[k*2+1])%mod,s2[k]=(s2[k*2]+s2[k*2+1])%mod;
 59 }
 60 void change(int k,int l,int r,int x,int y,Matrix t){
 61     if (fuck[k]!=-1){
 62         if (l!=r){pushdown(k*2,lazy[k]),pushdown(k*2+1,lazy[k]);}
 63         lazy[k]=wn; fuck[k]=-1;
 64     }
 65     if (l>=x&&r<=y){pushdown(k,t);return;}
 66     int mid=(l+r)>>1;
 67     if (x<=mid) change(k*2,l,mid,x,y,t);
 68     if (y>mid) change(k*2+1,mid+1,r,x,y,t);
 69     s1[k]=(s1[k*2]+s1[k*2+1])%mod,s2[k]=(s2[k*2]+s2[k*2+1])%mod;
 70 }
 71 int64 query(int k,int l,int r,int x,int y){
 72     if (fuck[k]!=-1){
 73         if (l!=r){pushdown(k*2,lazy[k]),pushdown(k*2+1,lazy[k]);}
 74         lazy[k]=wn; fuck[k]=-1;
 75     }
 76     if (l>=x&&r<=y) return s2[k]%mod;
 77     int mid=(l+r)>>1; int64 temp=0;
 78     if (x<=mid) temp=(temp+query(k*2,l,mid,x,y))%mod;
 79     if (y>mid) temp=(temp+query(k*2+1,mid+1,r,x,y))%mod;
 80     return temp;
 81 }
 82 int main(){
 83     scanf("%d%d",&n,&m); a0.clear(),t1.clear(),b.clear(),wn.clear();
 84     a0.n=1,a0.m=2; a0.a[0][0]=0,a0.a[0][1]=1;
 85     wn.n=2,wn.m=2;
 86     for (int i=0;i<2;i++)
 87         for (int j=0;j<2;j++){
 88             if (i==j) wn.a[i][j]=1;
 89             else wn.a[i][j]=0;
 90         }
 91     build(1,1,n);
 92     b.n=b.m=2;
 93     for (int i=0;i<2;i++){
 94         for (int j=0;j<2;j++){
 95             if (!i&&!j) b.a[i][j]=0;
 96             else b.a[i][j]=1;
 97         }
 98     }
 99     memset(s1,0,sizeof(s1));
100     memset(s2,0,sizeof(s2));
101     for (int i=1;i<=n;i++){
102         scanf("%I64d",&a[i]);
103         t1=a0*qpow(b,a[i]);
104         t2=a0*qpow(b,a[i]-1);
105         insert(1,1,n,i,t2.a[0][0],t1.a[0][0]);
106     }
107     for (int type,l,r,x;m;m--){
108         scanf("%d%d%d",&type,&l,&r);
109         if (type==1){
110             scanf("%d",&x);
111             t1=qpow(b,x-1);
112             change(1,1,n,l,r,t1);
113         }else{printf("%I64d\\n",query(1,1,n,l,r)%mod);}
114     }
115     return 0;
116 }

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链接：http://codeforces.com/contest/719/problem/E

题目大意：给定一个长度为n的序列ai，m个操作，有以下两种操作，1种是把l~r这一段数加上一个数x，另1种是询问l~r的f[ai]之和，f[i]为斐波那契数列的第i项，令f[1]=f[2]=1,f[i]=f[i-2]+f[i-1](i>2). n，m<=10^5  ,  1<=ai，x<=10^9;

做法：这题显然是要用线段树和矩阵快速幂，但是是区间修改不好维护，但是对于斐波那契数列有个结论就是f[n+m]=f[n-1]*f[m]+f[n]*f[m+1],有了这个就很好做了，如下：

f(a+x) = f(x+1)f(a) + f(x)f(a-1)
f(a-1+x) = f(x-1)f(a-1) + f(x)f(a)
令s1(l,r)为区间内所有f(a[i])的和
令s2(l,r)为区间内所有f(a[i]-1)的和
然后线段树维护这两个就行了,每次计算某个f(x)的值就拿矩阵快速幂(8*logn)。

这样的做法是nlogn^2的，加上线段树的常数是过不了的，我们得考虑矩阵乘法那一部分，我们真的需要在每次传标记的时候都用logn的时间来计算f（x）吗，显然是不需要的，我们只要把lazy标记设为一个矩阵即可，为b^x（令b为用矩阵乘法求斐波那契数列时候的矩阵），合并标记的时候就把这个矩阵乘一下即可，总时间复杂度降为了nlogn，能过。这题首先用结论把问题转化为了支持区间修改，再利用了每次计算的重复，巧妙地把lazy标记定为矩阵，进一步降低时间复杂度，一个好题。