连续子序列的最大乘积

Posted 2020-08-09 p_string

问题描述

　　给定一个整数序列，序列中可能含有0，正数，负数，求出连续子序列乘积的最大值

暴力解法

　　双层循环，一一遍历，每次将当前结果与前次结果要比较，如果大于前次结果，更新最大值，时间复杂度为O(n²)，复杂度较高，代码略

动态规划解法

　　对于序列arr，maxDp[k]表示以arr[k](必须包含arr[k])结尾的最大连续子序列乘积值，minDp[k]表示以arr[k](必须包含arr[k])结尾的最小连续子序列乘积值，则对于maxDp[k + 1]，表示以arr[k + 1]结尾的最大连续子序列乘积值，可分以下几种情况：

　　1.maxDp[k] > 0 && arr[k + 1]，则maxDp[k + 1] = maxDp[k] * arr[k + 1]，如下图所示

　　2.maxDp[k] 与 arr[k + 1] 中一个为正数，一个为负数，如arr[k + 1]为负数，因arr[k + 1]已经为负数，如果和前面的maxDp[k]相乘，结果会更小，而且maxDp[k + 1] 必须包含arr[k + 1]，所以当前最大值maxDp[k + 1] = arr[k + 1]，如果maxDp[k]为负数，而arr[k + 1]为正数，其结果仍然不变。

　　3.maxDp[k]为正数，而arr[k + 1]为负数，其中在arr[0]到arr[k]之前有负数， 这个时候，我们会发现arr[k+1] * maxDp[k]不一定是最大的值。在这个示例中，如果再乘上前面的-2得到的结果才是最后最大的。而前面包含-2的这个序列，必然是一个前面序列里的最小值。同样，如果前面的序列里maxDp[k]是负数，而且a[k+1]也是负数，则它们的直接乘积就是最大值

经上分析可知，其状态转移方程为：

maxDp[k + 1] = max(arr[k + 1],max(minDp[k] * arr[i],maxDp[k] * arr[k + 1]));

minDp[k + 1] = min(arr[k + 1],min(maxDp[k] * arr[i],minDp[k] * arr[k + 1]));

 

代码如下：

 1 void MaxSeqMultiple(vector<int> &arr){
 2     vector<int> maxDp(arr.size());
 3     vector<int> minDp(arr.size());
 4     maxDp[0] = arr[0];
 5     minDp[0] = arr[0];
 6     int result = arr[0];
 7     vector<int> ret;
 8     for(int i = 1;i < arr.size(); i++){
 9         maxDp[i] = max(arr[i],max(minDp[i - 1] * arr[i],maxDp[i - 1] * arr[i]));
10         minDp[i] = min(arr[i],min(maxDp[i - 1] * arr[i],minDp[i - 1] * arr[i]));
11         result = max(result,maxDp[i]);
12     }
13     cout << result << endl;
14 } 

 

参考链接：连续子序列最大和与乘积问题的分析