线段树入门整理

Posted 2020-06-13

线段树(interval tree) 是把区间逐次二分得到的一树状结构，它反映了包括归并排序在内的很多分治算法的问题求解方式。

 

 

【声明】

1 #include<cstdio>
2 #include<cmath>
3 const int MAXNODE = 2097152;
4 const int MAX = 1000003;
5 struct NODE{
6     int left,right;    // 区间[left,right] 、 
7     int value;        // 节点区间对应的权值、 
8 }node[MAXNODE];
9 int father[MAX];   // 每个点(当区间长度为0时，对应一个点)对应的结构体数组下标

 

【创建线段树（初始化）】：

线段树是用二叉树结构存储的，而且是完全二叉树

在完全二叉树中假如一个结点的序号（数组下标）为 n ，那么 （二叉树基本关系）

n的父亲为 n/2，

n 的另一个兄弟为 n/2*2 或 n/2*2+1

n 的两个孩子为n*2 (左)   n*2+1(右)

根据这样的关系，就可以很简单明了的写出建树的代码了

 

 1 void buildtree(int i,int left,int right)    // 为区间[left,right]建立一个以结点i为祖先的线段树，i又为为数组下标，也是结点序号
 2 {
 3     node[i].left=left;            //写入第i个结点的 左区间 、 
 4     node[i].right=right;        //写入第i个结点的 右区间 、 
 5     node[i].value=0;            // 对每个区间进行初始化 、 
 6     if(left==right){            // 当区间长度为0的时候，结束递归、 
 7         father[left]=i;            //能知道某个点对应的序号，为了更新的时候从下往上一直到顶，也就是保存left对应结点i在结构体数组中的位置 
 8         return;
 9     }
10     // 该结点往 左孩子的方向 继续建立线段树
11    // 这里将 区间[left,right] 一分为二了  
12      buildTree(i<<1, left, (right+left) / 2));
13      // 该结点往 右孩子的方向 继续建立线段树  
14      buildTree((i<<1)+1, (right+left) / 2 + 1, right);
15 } 

 

【单点更新线段树】：

最初用father数组保存了每一个单位区间长度的结点下标，因此就容易由下往上更新了

（此处以更新区间最大值为例）

 1 void updatatree(int ri)    //从下往上更新（这个点本身已经在函数外面更新过了） 
 2 {
 3     if(ri==1)    return;        // 已经找到整个树的根节点了，结束递归 
 4     int fi = ri / 2;        // ri的父结点 
 5     //该父结点的两个孩子 
 6     int a = node[fi<<1].value;        
 7     int b = node[(fi<<1)+1].value;
 8     node[fi].value=(a>b)?(a):(b);    //更新这个父结点 
 9     updatatree(ri/2);        // 继续递归，由父结点往上找 
10 }

 

【查询区间最大值】：

   将一段区间按照建立的线段树从上往下一直拆开，直到存在有完全重合的区间停止。对照图例建立的树，假如查询区间为 [2,5]

红色的区间为完全重合的区间，因为在这个具体问题中我们只需要比较这 三个区间的值 找出 最大值 即可。

 

 1 int Max = -1 << 20;
 2 void query(int i,int l,int r)
 3 {
 4     if(node[i].left==l && node[i].right==r){            // 找到一个完全重合区间 
 5         Max = (Max < node[i].value)?node[i].value:(Max);
 6         return;
 7     }
 8     i = i << 1;             //查找此结点的左孩子结点 
 9     if(l <= node[i].right){        // 左区间有涉及 
10         if(r<=node[i].right)    // 全包含于左区间，则查询区间形态不变 
11             query(i,l,r);         
12         else                    // 半包含于左区间，则查询区间拆分，左端点不变右端点变为左孩子的右区间 
13             query(i,l,node[i].right);
14     }
15     i+=1;        //右孩子结点 
16     if(r >= node[i].left){        //右区间有涉及 
17         if(l >= node[i].left)    //全包含于右区间，查询状态不变 
18             query(i,l,r);
19         else                    // 半包含于左区间，查询区间拆分 
20             query(i,node[i].left,r);
21     }
22 }