三门问题

Posted 2020-08-09 大叔聚

三门问题

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三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let‘s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，哪扇门后是羊，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。

中文名

三门问题

外文名

Monty Hall problem

别    称

蒙提霍尔问题

提出者

蒙提霍尔

目录

1. 1 问题
2. ? 由来
3. ? 假设
4. 2 解答

1. ? 解法一
2. ? 解法二
3. ? 补充说明
4. 3 回响

1. 4 相关讨论
2. 5 相关影片

三门问题问题

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三门问题由来

以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：

「假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？」^[1] 

以上叙述是对 Steve Selvin 于1975年2月寄给 American Statistician 杂志的叙述的改编版本。^[2]  如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许参赛者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给 Selvin 的信中所写：

「如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。」^[3] 

Selvin 在随后寄给 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。^[4] 

一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁·加德纳（Martin Gardner）的《数学游戏》专栏中。加德纳版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。

这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的 Calcul des probabilités 一书中。 在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand‘s Box Paradox）。

三门问题假设

Mueser 和 Granberg 透过厘清细节，以及对主持人的行为加上明确的介定，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述^[5]  ︰

• 现在有三扇门，只有一扇门有汽车，其余两扇门的都是山羊。
• 汽车事前是等可能地被放置于三扇门的其中一扇后面。
• 参赛者在三扇门中挑选一扇。他在挑选前并不知道任意一扇门后面是什麽。
• 主持人知道每扇门后面有什么。
• 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
• 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人等可能地在另外两扇有山羊的门中挑一扇门。
• 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一扇门。

转换选择可以增加参赛者拿到汽车的机会吗？

三门问题解答

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三门问题解法一

问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。

参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。

“参赛者挑汽车，主持人挑羊一号。转换将失败”，和“参赛者挑汽车，主持人挑羊二号。转换将失败。”此情况的可能性为：

。

三门问题解法二

另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。

三门问题补充说明

第一次选的空门（概率66.6%），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车

第一次选的汽车（概率33.3%），之后主持人开另一个空门，不换门，得到汽车

这里影响到结果的概率问题只发生在第一次选门上，如果条件如上设置，当一开始的门选定后，事件的结果也就决定了，所以这里不存在之后主持人是选择1号空门，还是2号空门的问题，所以在做概率计算是不考虑主持人的选择。如果也要考虑主持人的话：

第一次选的空门1（概率1/3），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。 事件总概率 1/3

第一次选的空门2（概率1/3），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。 事件总概率 1/3

第一次选的汽车（概率1/3），之后主持人开另一个空门1（概率1/2），不换门，得到汽车 这个事件总概率

第一次选的汽车（概率1/3），之后主持人开另一个空门2（概率1/2），不换门，得到汽车 这个事件总概率

主持人选1号空门还是2号空门打开，这里有个主持人的选择概率，我假设的是主持人随机选择（抽签或者随意），所以各给了50%的概率，如果主持人就是喜欢1号空门，必开1号，那么也就成了1号（100%），2号（0%）了，最后结果并不影响。

所以开始选中汽车，最后换门不得奖的概率是33.3%，开始选中空门，换门最后得奖的概率是66.6%。

三门问题回响

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对于“蒙提霍尔问题”（“Monty Hall dilemma”），玛丽莲·沃斯·莎凡特在她专栏的回答是改选会更有优势，这在美国引起了激烈的争议：人们寄来了数千封抱怨信，很多寄信人是科学老师或学者。一位来自佛罗里达大学的读者写道：“这个国家已经有够多的数学文盲了，我们不想再有个世界上智商最高的人来充数！真让人羞愧！”另一个人写道：“我看你就是那只山羊！”美国陆军研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)写道，“如果连博士都要出错，我看这个国家马上要陷入严重的麻烦了。”^[1] 

但是莎凡特并没有错。最后她用整整4个专栏，数百个新闻故事及在小学生课堂模拟的测验来说服她的读者她是正确的。“哦，那真是太有趣了。实际上我十分享受这些讨厌的来信，”她说。“这些家伙我真是爱死他们了！”

这一问题的关键在于主持人，因为他总会挑一扇后面没有奖品（汽车）的门。游戏秀的调查数据显示，那些改选的参赛选手赢的几率是那些没有改选的人的两倍，这证实了莎凡特在其第三篇专栏中的解释：“当你从三扇门中选了门1后，这扇门后面有奖的几率是1/3，另两扇门是2/3。但接下来主持人给了你一个线索。如果奖品在门2后，主持人将会打开门3；如果奖品在门3后，他会打开门2。所以如果你改选的话，只要奖品在门2或门3后你就会赢，两种情况你都会赢！但是如果你不改选，只有当奖品在门1后你才会赢。"

总结一句话，概率存在于被给予的条件下，概率不能寄托在实际的物体上。

三门问题相关讨论

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流言终结者（Mythbusters）是美国的科普电视节目，它也在2011年11月做了一次关于三门问题的实验。

三门问题相关影片

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《决胜21点》

蒙提霍尔问题因美国影片《决胜21点》为大多数非数学专业人士所知晓。《决胜21点》改编自关于美国华裔男子马恺文的一个真实故事。

参考资料

• 1.    Game Show Problem  ．marilynvossavant.com[引用日期2013-11-13]
• 2.    A problem in probability (letter to the editor)  ．American Statistician 29 (1): 67[引用日期2013-11-13]
• 3.    THE MONTY HALL PROBLEM  ．LET‘S MAKE A DEAL[引用日期2013-11-13]
• 4.    On the Monty Hall problem (letter to the editor)  ．Excerpted from The American Statistician 29 (3): 134[引用日期2013-11-13]
• 5.    The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making  ．MONTY HALL DILEMMA REVISITED[引用日期2013-11-13]