2005循环

Posted 2020-08-09

题目描述 Description

乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。

众所周知，2的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复2，4，8，6，2，4，8，6……我们说2的正整数次幂最后一位的循环长度是4（实际上4的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：


循环
循环长度

2
2、4、8、6
4

3
3、9、7、1
4

4
4、6
2

5
5
1

6
6
1

7
7、9、3、1
4

8
8、4、2、6
4

9
9、1
2


这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数n的正整数次幂来说，它的后k位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？

 

注意：

1．如果n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。

2．如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a次幂和a+L次幂的最后k位都相同。

 

输入描述 Input Description

输入只有一行，包含两个整数n（1<=n<10100）和k（1<=k<=100），n和k之间用一个空格隔开，表示要求n的正整数次幂的最后k位的循环长度。

输出描述 Output Description

输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。如果循环不存在，输出-1。

样例输入 Sample Input

32 2

样例输出 Sample Output

4

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据规模】

对于30%的数据，k<=4；

对于全部的数据，k<=100。

 

 

题解：

数论+高精度。

我们只需要计算后k位，而且我们可以从1位1位分析下去。我们就当样例来算一下：先求出最后一位2需要几次才能循环，求出答案4；在求32，后面的位数都相同，至少要32（4）的两位，得76（这一点我们可以在a数组上乘，会方便很多）。我们再让32每次*76，求出1。最后用4*1求得答案=4。

type ar=array[0..1001]of longint;

var i,j,s,k:longint;

    n:ansistring;

    a,b,ans:ar;

procedure cheng1(var a:ar;b:ar);

var i,j:longint;

    c:ar;

 begin

  fillchar(c,sizeof(c),0);

  for i:=1 to a[0] do

   for j:=1 to a[0]-i+1 do

    begin

     c[i+j-1]:=c[i+j-1]+a[i]*b[j];

     c[i+j]:=c[i+j]+c[i+j-1]div 10;

     c[i+j-1]:=c[i+j-1]mod 10;

    end;

  c[0]:=b[0];

  a:=c;

 end;

procedure cheng2(var a:ar;b:longint);

var i:longint;

    c:ar;

 begin

  fillchar(c,sizeof(c),0);

  for i:=1 to a[0] do

   begin

    c[i]:=a[i]*b+c[i];

    c[i+1]:=c[i] div 10;

    c[i]:=c[i] mod 10;

   end;

  c[0]:=a[0];

  while c[c[0]+1]>0 do

   begin

    inc(c[0]);

    c[c[0]+1]:=c[c[0]] div 10;

    c[c[0]]:=c[c[0]]mod 10;

   end;

  a:=c;

 end;

begin

 readln(n);

 val(copy(n,pos(‘ ‘,n)+1,length(n)),k);

 delete(n,pos(‘ ‘,n),length(n));

 inc(ans[0]);

 inc(ans[1]);

 a[0]:=length(n);

 for i:=1 to a[0] do a[a[0]-i+1]:=ord(n[i])-48;

 for i:=1 to k do

  begin

   for j:=1 to i do b[j]:=a[j];

   b[0]:=i;

   s:=1;

   cheng1(b,a);

   while (s<=10)and(b[i]<>a[i]) do

    begin

     cheng1(b,a);

     inc(s);

    end;

   if b[i]<>a[i] then

    begin

     write(‘-1‘);

     exit;

    end;

   b:=a;

   for j:=1 to s-1 do cheng1(a,b);

   cheng2(ans,s);

  end;

 for i:=ans[0] downto 1 do write(ans[i]);

end.