1023税收与补贴问题

Posted 2020-08-09 wolf940509

题意：2000Noip提高组

分析：这题没有理解好题意，最后看了题解之后才做出来的，下面贴一下刘汝佳大神的题解

我先来说说题目的意思。就从样例开始分析。

输入是：

31 28 130 30 120 31 110 -1 -1 15

意思就是政府预期价是31元。成本28元，按成本销售的时候可以买130件产品。

每个卖30元的时候可以卖120个，

每个卖31元(输入的最高价位)的时候可以卖110个，

每个卖32元的时候可以卖：110-15=95个。

每个卖33元的时候可以卖：110-15-15=80个。

每个卖34元的时候可以卖：110-15-15-15=65个。

... 因为“相邻价位之间的销量变化是均匀的”，因此28元卖130个,30元卖120个就可以知道

29元卖125个(平均每元减少的销量是(130-120) div (30-28)=5)

输出是4，我们来解释一下为什么是4。

4代表补贴是4元，所以:

在卖28元的时候，总利润是：(28-28+4)*130=520元，

在卖29元的时候，总利润是：(29-28+4)*125=625元，

在卖30元的时候，总利润是：(30-28+4)*120=720元，

在卖31元的时候，总利润是：(31-28+4)*110=770元，

在卖32元的时候，总利润是：(32-28+4)*95=760元，

... 在卖38元的时候，总利润是：(38-28+4)*5=70元，

显然可能的价位就是28~38了。(不能低于成本，卖39的时候销售量就是负数了)

可以看出，现在卖31元最划算，所以人们都愿意卖31元，这样一来不就达到政府的目的了吗！！

而当补贴是0,1,2,3的时候卖31元并不是最划算的，政府的目的达不到，你当然就没有分啦！

题意清楚了吗？好，下面分析思路。

穷举显然可以，但是没有什么意思，留给大家自己写。下面讲我的另外一种算法，数学味道要浓一些，

希望大家坚持看完。

由于需要N元钱最划算，相当于使N元钱的利润大于等于每种价格的利润。因此可以分别考虑。

设补贴为x，则N元钱的利润是：(p为成本)

(N-p+x)*d[N]=(N-p)*d[N]+x*d[N]

因此N元钱比M元钱划算的时候有：

(N-p)*d[N]+x*d[N]>=(M-p)*d[M]+x*d[M],即：

x(d[N]-d[M])>=M*d[M]-N*d[N]-p*(d[M]-d[N])

这样，要使N元钱比M元钱划算，x必须在区间[k1,k2] (k1,k2根据上面的式子得出)

例如上面的例子：

31元比28元划算时有：

(31-28+x)*110>=(28-28+x)*130

即：330+110x>=130x,故x<=16.5

31元比30元划算时有：

330+110x>=240+120x,故x<=9

31元比32元划算时有：

330+110x>=380+95x,故x>=3.33

... 最后所有式子取交集，就得到了x的范围。要求绝对值最小值还不容易吗？ :-P

大家注意我在求出了k1,k2后做的最后的处理。可能有一边或两边无界的情况。

正数和负数的处理也有区别。

有一点需要注意：题目没有说输入价位是从小到大排序好的，虽然测试数据都是排序好的。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <string>
 5 #include <vector>
 6 #include <algorithm>
 7 #include <set>
 8 #include <map>
 9 #include <bitset>
10 #include <cmath>
11 #include <queue>
12 #include <stack>
13 using namespace std;
14 const int maxn=10010;
15 const int INF=1<<30;
16 int price[maxn],sell[maxn],d[maxn];   //价格和销量
17 int n,p;  //达到最大利润的售价和成本
18 int num; //达到最大利润之后的减少量
19 int main()
20 {
21     while(cin>>n)
22     {
23         int k=0;
24         while(true){   //已知的售价和销量
25             int x,y;
26             cin>>x>>y;
27             if(x==-1&&y==-1)  break;
28             ++k;
29             price[k]=x;
30             sell[k]=y;
31         }
32         cin>>num;
33 
34         int p=price[1];  //成本
35         int most=price[k]+sell[k]/num; //最高售价
36         if((n<p)||(n>most)){
37             cout<<"NO SOLUtION"<<endl;
38             continue;
39         }
40         memset(d,0,sizeof(d));
41         
42         //处理销量
43         for(int i=1;i<=k-1;i++){
44             int tt=(sell[i]-sell[i+1])/(price[i+1]-price[i]);
45             for(int j=price[i];j<=price[i+1]-1;j++)
46                 d[j]=sell[i]-tt*(j-price[i]);
47         }
48         for(int i=price[k];i<=most;i++)
49             d[i]=sell[k]-num*(i-price[k]);
50 
51         //cout<<"456"<<endl;
52         double k1=-INF,k2=INF;
53         for(int i=p;i<=most;i++){
54             int r=d[n]-d[i];
55             int ans=i*d[i]-n*d[n]-p*(d[i]-d[n]);
56             if(r>0&&k1<(double)ans/(double)r)
57                 k1=(double)ans/(double)r;
58             if(r<0&&k2>(double)ans/(double)r)
59                 k2=(double)ans/(double)r;
60         }
61 
62         int u1,u2;
63         if(k1==-INF)   u1=-INF;
64         else if(k1>0&&(k1-(int)k1>0))  u1=(int)k1+1;
65         else  u1=k1;
66         if(k2==INF)   u2=INF;
67         else if(k2<0&&((int)k2-k2>0))  u2=(int)k2-1;
68         else u2=k2;
69 
70         if(u1<0&&u2>0){
71             u1=0,u2=0;
72         }
73         if(u1>u2)  cout<<"NO SOLUTION"<<endl;
74         else if(abs(u1)<abs(u2))  cout<<u1<<endl;
75         else  cout<<u2<<endl;
76     }
77     return 0;
78 }

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