最大连续序列和，积以及不相交数组和之差最大

Posted 2020-08-09 beaglebone

问题一：子数组和的最大值：

用f[i]表示以a[i]结尾的最大连续子序列和。i在0~n-1之间，最后比较所有的f[i]找到最大值。对于这样的以为动态规划，可以简化为用一个变量f滚动完成更新。

int max_sum(int a[],int n)
{
    int f=a[0];
    int max_value=a[0];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(f<0)
            f=a[i];
        else
            f=f+a[i];
        max_value=max(max_value,f);
    }
    return max_value;
}

问题二：不相交子数组和之差的最大值。

我们需要将数组分成不相交的两部分，分别求所有可能的两部分的子数组的和的最大值，以及最小值。比如将数组a[0~n]分成a[0~i]与a[i+1~n]，我们用f1[i]表示第一部分a[0~i]子数组的最大连续子序列和。f2[i]表示第一部分a[0~i]子数组的最小连续子序列的和。g1[i+1]表示第二部分a[i+1~n]子数组的最大连续子序列和。g2[i+1]表示第二部分a[i+1~n]子数组的最小连续子序列的和。最后对于每一个i，我们求出最大的两部分之差，max(f1[i]-g2[i+1], g1[i+1]-f2[i]);其中f1[i],f2[i],g1[i],g2[i]都是在问题一的基础上求得的result；

int max_diff_sum(int a[],const int n)
{
    vector<int> f1(n);//f1[i]表示a[0~i]子数组中包含的所有连续子序列和的最大值
    vector<int> f2(n);
    vector<int> g1(n);
    vector<int> g2(n);
    f1[0]=a[0];
    f2[0]=a[0];
    int max_left_until=a[0];//表示以a[i]结尾的连续子序列的最大值
    int min_left_until=a[0];//表示以a[i]结尾的连续子序列的最小值
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(max_left_until>0)
            max_left_until+=a[i];
        else
            max_left_until=a[i];
        f1[i]=max(f1[i-1],max_left_until);

        if(min_left_until<0)
            min_left_until+=a[i];
        else
            min_left_until=a[i];
        f2[i]=min(f2[i-1],min_left_until);
    }

    g1[n-1]=a[n-1];
    g2[n-1]=a[n-1];
    int max_right_until=a[n-1];
    int min_right_until=a[n-1];
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
    {
        if(max_right_until>0)
            max_right_until+=a[i];
        else
            max_right_until=a[i];
        g1[i]=max(g1[i+1],max_right_until);

        if(min_right_until<0)
            min_right_until+=a[i];
        else
            min_right_until=a[i];
        g2[i]=min(g2[i+1],min_right_until);
    }
    int result=INT_MIN;
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        result=max(result,max(f1[i]-g2[i+1],g1[i+1]-f2[i]));
    }
    return result;
}

问题三：最大连续乘积子串：

对于数组的最大连续乘积的子串，因为乘积可能有正有负，如果前面乘积为负的，刚好a[i]也是负数，就会负负得正。因此我们需要max_until来保存以a[i]结尾的子串的乘积的最大值，用min_until保存以a[i]结尾的子串的乘积的最小值。然后所有的max_until中的最大值为最后的结果。

double max_multi(double a[],int n)
{
    double max_until=a[0];
    double min_until=a[0];
    double result=a[0];
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        double temp1=max_until*a[i];
        double temp2=min_until*a[i];
        max_until=max(max(temp1,temp2),a[i]);
        min_until=min(min(temp1,temp2),a[i]);

        result=max(result,max_until);
    }
    return result;
}