堆排序和建立最大堆

Posted 2020-08-09 beaglebone

堆是完全二叉树的结构，因此对于一个有n个节点的堆，高度为O(logn)。

最大堆：堆中的最大元素存放在根节点的位置。

           除了根节点，其他每个节点的值最多与其父节点的值一样大。也就是任意一个子树中包含的所有节点的值都不大于树根节点的值。

堆中节点的位置编号都是确定的，根节点编号为1，每一层从左到右依次编号。由堆是完全二叉树，可以知道当堆中某个节点的编号为i时，如果这个节点有左右子树，那么左子树的节点编号为2*i,右子树的节点编号为2*i+1（当然这是在根节点编号为1的情况时）。

并且有n个节点的堆中叶子节点的编号为从n/2+1~n。因为假设节点n/2+1不是叶子节点，那么它的左子节点编号(n/2+1)*2=n+1，而节点总共只有n个。完全二叉树的叶子节点只出现在最下面两层。最下层的叶子集中在左边，倒数二层的叶子集中在右边。

维护最大堆函数MAX_HEAPWEIHU(A，i)，假定节点i的左右子树已经是最大堆。那么维护堆时，先比较i节点的值与左右节点值的大小，将三个数中的最大值交换到根节点的位置。假设根节点i与左子节点的值交换了，那么左子树就要再次调用MAX_HEAPWEIHU(A，2*i)，判断左子树还是不是最大堆，如果是则结束，否则继续调用进行维护。因此调用MAX_HEAPWEIHU(A，i)的时间复杂度为O(logn)。

heapfy(int a[],int i,int heapsize)
{
     int largest=i;
     int left=2*i-1;
     int right=2*i;
     if(left<heapsize && a[i]<a[left])  
           largest=left;
     if(right<heapsize && a[largest]<a[right])
           largest=right;
     if(largest!=i)
     {
           swap(a[i],a[largest]);
           heapfy(a,largest);
     }
}

建立最大堆：将A[1,n]数组转换为最大堆。因为最大堆为完全二叉树结构，因此A[n/2+1],……,A[n]是最大堆的叶子节点。每个叶子节点本身就是一个最大堆，所以我们就要从A[n/2]~A[1]逐步维护这个最底层的最大堆（调用MAX_HEAPWEIHU(A，i)维护）。

void buildheap(int a[],int len)
{
      for(int i=len/2-1;i>=0;i--)
          heapfy(a,i,len);
}        

堆排序：先建立一个最大堆。然后将最大堆的A[1]与A[n]交换，然后从堆中去掉这个节点n，通过减少A.heap_size的值来实现。剩余的节点中，新的根节点可能违背了最大堆的性质，因此需要调用MAX_HEAPWEIHU(A，1)来维护最大堆。

void sortheap(int a[],int len)
{
   
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
         swap(a[0],a[i]);
         heapfy(a,0,i);
    }
}    

#include<iostream>
using namespace std;
void heapfy(int a[],int index,int heapsize)
{
    int left=index*2+1;
    int right=left+1;
    int largest=index;
    if(left<heapsize&&a[index]<a[left])
        largest=left;
    if(right<heapsize&&a[largest]<a[right])
        largest=right;
    if(largest!=index)
    {
        swap(a[index],a[largest]);
        heapfy(a,largest,heapsize);
    }
}
void heapsort(int a[],int len)
{
    for(int i=len/2-1;i>=0;i--)
    {
        heapfy(a,i,len);
    }
    for(int i=len-1;i>=0;i--)
    {
        swap(a[i],a[0]);
        heapfy(a,0,i);
    }
}
int main()
{
    int a[10]={9,3,4,5,1,8,0,2,7,6};
    heapsort(a,10);    
}