[DP优化方法之斜率DP]

Posted 2020-08-09

什么是斜率dp呢 大概就把一些单调的分组问题 从O(N^2)降到O(N) 具体的话我就不多说了 看论文:

http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2012/08/03/2621345.html

 

我自己也补充几句：

其实斜率dp有很多种打法 有凸包 有截距 有直接比较斜率的 因为我比较弱 所以的话就学最弱智的比较斜率的 听wph说截距很好理解

然后的话 讲课的时候scy说什么要证单调性什么鬼的 我在学的过程中好像没遇到就不管了 虽然我很弱 反正我能AC就行了

我们要知道的一点是我们要维护的是斜率递增还是递减的 这很重要

我做这种题就是 先枚举k<j<i 然后列出式子化简 变成(.....) / (.....)  < 或者 > x[i] 然后设两条斜率为g[i,j] g[j,k]

看看g[i,j]<g[j,k] 或者 g[i,j]>g[j,k]的情况 看看有没有使j最不优的情况删掉j 然后描出这个队列里面合法的点 就知道是单调递增还是递减了

 

其实我说的很乱 别看好了 直接上例题

[Usaco2008 Mar]土地购买

首先这一道题是求max的 我们自然要办法处理一下 先按x和y从小到大排序 我们发现 当i>j xi>xj yi>yj的时候 j是废的 所以我们要重新搞一遍 使得xi>xj yi<yj

这样就变成了x递增y递减的东西

然后斜率dp搞一下就好了 注意如果没删去那些没用的直接搞会错的 因为如果假设i>j i对于j来说j是废的 那么的话F[i]就是继承F[j] 就是把i和j分成两组 然后的话j又比j-1优(会有可能的好像我想了一下) 所以的话就继承了j的使原来不优 但是的话j-1不优是因为Y[j-1+1]的影响了 (想一下 我就因为这个wa了)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<climits>
#define Maxn 50010
using namespace std;
pair<double,double>pr[Maxn]; int N;
bool Cmp(const pair<double,double> &x,const pair<double,double> &y){if(x.first!=y.first) return x.first<y.first; return x.second<y.second;}
pair<double,double>S[Maxn]; int top=0; int Q[Maxn],head,tail; double F[Maxn];
inline double Slop(int j,int k){return (F[j]-F[k])/(S[k+1].second-S[j+1].second);}
int main()
{
  scanf("%d",&N); for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%lf%lf",&pr[i].first,&pr[i].second);
  sort(pr+1,pr+N+1,Cmp); S[0]=make_pair(0,LLONG_MAX);
  for(int i=1;i<=N;i++){while(pr[i].second>=S[top].second) top--; S[++top]=pr[i];}
  head=1; tail=1; Q[head]=0;
  for(int i=1;i<=top;i++)
  {
    while(head<tail&&Slop(Q[head],Q[head+1])<=S[i].first) head++;
    F[i]=F[Q[head]]+S[i].first*S[Q[head]+1].second;
    while(head<tail&&Slop(Q[tail-1],Q[tail])>=Slop(Q[tail],i)) tail--; Q[++tail]=i;
  }
  return printf("%.0lf\\n",F[top]),0;
}
/*
4
100 1
15 15
20 5
1 100
1<=N<=50000
*/

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