最长递增子序列

Posted 2020-08-09 beaglebone

方法一：

用LCS的方法，计算序列a与排序后的序列b之间的最长公共子序列。在这里用了快速排序，然后再用LCS方法。

void quiksort(int a[],int start,int end)
{
    int temp=a[start];
    int i=start,j=end;
    if(i<j)
    {
    while(i<j)
    {
        while(i<j&&a[j]>temp)
            j--;
        a[i]=a[j];
        while(i<j&&a[i]<temp)
            i++;
        a[j]=a[i];

    }
    a[j]=temp;
    quiksort(a,start,i-1);
    quiksort(a,i+1,end);
    }
}
int LCS(int a[],int b[],int len)
{
    vector<int> f(len+1,0);
    for(int i=1;i<=len;i++)
        for(int j=1;j<=len;j++)
        {
            f[j]=a[i-1]==b[j-1]?f[j-1]+1:max(f[j],f[j-1]);
        }

    return f[len];
}

 

方法二：

动态规划，用F[i]表示以a[i]结尾的递增子序列的最大长度。那么

F[i]=max(F[j])+1,其中a[j]<a[i]&&j<i,  j取0~i之间的所有值；最后求所有的F[i]的最大值； 该方法的时间复杂度为O(N²)

int dp(int a[],int len)
{
    vector<int> f(len,1);
    for(int i=1;i<len;i++)
    {
        for(int j=0;j<i;j++)
        f[i]=a[j]<a[i]?max(f[i],f[j]+1):f[i];
    }
    int result=1;
    for(int i=0;i<len;i++)
        result=max(result,f[i]);
    return result;
}

 

方法三：

定义一个f(n)存储对应长度的LIS的最小末尾。如f(0)存储着长度为1的LIS的最小末尾，f(1)存储着长度为2的LIS的最小末尾。 

例如对于序列a[9]={2,1,5,3,6,4,8,9,7}，len记录f序列的长度。

首先f[0]=a[0]=2，len=1;

再把a[1]插入f序列，a[1]< f[0],因此f[0]=a[1]=1; len还是为1；

再把a[2]插入f序列，a[2]> f[0],因此f[1]=a[2]=5; len=2；

再把a[3]插入f序列，a[3]< f[1],因此将a[3]插到f[1]的位置。f[1]=a[3]=3;len还是2

再把a[4]插入f序列，a[4]> f[1],因此将a[4]插到f[2]的位置。f[2]=a[4]=6; f序列的长度变长了，len是3

再把a[5]插入f序列，a[5]< f[2],因此将a[5]插到f[2]的位置。f[2]=a[5]=4;len还是3

再把a[6]插入f序列，a[6]> f[2],因此将a[6]插到f[3]的位置。f[3]=a[6]=8; f序列的长度变长了，len是4

再把a[7]插入f序列，a[7]> f[3],因此将a[7]插到f[4]的位置。f[4]=a[7]=9; f序列的长度变长了，len是5

再把a[8]插入f序列，a[8]< f[4],因此将a[8]插到f[3]的位置。f[3]=a[8]=7;len还是5

在这里我们使用二分查找的方法找到每个a[i]应该插入到f序列的什么位置。若a[i]大于f序列此时的最后一个元素，那么只需要将a[i]插入到序列f的末尾，否则使用二分查找法插入a[i]; f[i]中存储的是长度为i+1的递增子序列的最小末尾的值。此方法的时间复杂度为O(NlogN)

int bfind(vector<int> a,int len,int num)
{
    int start=0;
    int end=len-1;
    while(start<=end)
    {
        int mid=(start+end)/2;
        if(a[mid]==num)
            return mid;
        else if(a[mid]>num)
            end=mid-1;
        else
            start=mid+1;
    }
    return start;
}
int nlogn(int a[],int n)
{
    vector<int> f(n);
    f[0]=a[0];
    int len=1;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(f[len-1]<a[i])
        {
            f[len]=a[i];
            len++;
        }
        else
        {
            int pos=bfind(f,len,a[i]);
            f[pos]=a[i];
        }
    }
    return len;

}

对于以上三种方法的测试实现代码如下：

其中主函数len1输出的为方法一的结果；

len2输出的是方法二的结果；

len3输出的是方法三的结果；

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
void quiksort(int a[],int start,int end)
{
	int temp=a[start];
	int i=start,j=end;
	if(i<j)
	{
	while(i<j)
	{
		while(i<j&&a[j]>temp)
			j--;
		a[i]=a[j];
		while(i<j&&a[i]<temp)
			i++;
		a[j]=a[i];

	}
	a[j]=temp;
	quiksort(a,start,i-1);
	quiksort(a,i+1,end);
	}
}
int LCS(int a[],int b[],int len)
{
	vector<int> f(len+1,0);
	for(int i=1;i<=len;i++)
		for(int j=1;j<=len;j++)
		{
			f[j]=a[i-1]==b[j-1]?f[j-1]+1:max(f[j],f[j-1]);
		}

	return f[len];
}
int dp(int a[],int len)
{
	vector<int> f(len,1);
	for(int i=1;i<len;i++)
	{
		for(int j=0;j<i;j++)
		f[i]=a[j]<a[i]?max(f[i],f[j]+1):f[i];
	}
	int result=1;
	for(int i=0;i<len;i++)
		result=max(result,f[i]);
	return result;
}
int bfind(vector<int> a,int len,int num)
{
	int start=0;
	int end=len-1;
	while(start<=end)
	{
		int mid=(start+end)/2;
		if(a[mid]==num)
			return mid;
		else if(a[mid]>num)
			end=mid-1;
		else
			start=mid+1;
	}
	return start;
}
int nlogn(int a[],int n)
{
	vector<int> f(n);
	f[0]=a[0];
	int len=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		if(f[len-1]<a[i])
		{
			f[len]=a[i];
			len++;
		}
		else
		{
			int pos=bfind(f,len,a[i]);
			f[pos]=a[i];
		}
	}
	return len;

}
int main()
{
	int a[9]={2,1,5,3,6,4,8,9,7};
	int b[9];
	for(int i=0;i<9;i++)
	{
		b[i]=a[i];
	}
	quiksort(a,0,8);
	int len=LCS(a,b,9);
	cout<<len<<endl;
	int len2=dp(b,9);
	cout<<len2<<endl;
	int len3=nlogn(b,9);
	cout<<len3<<endl;
}