图论 公约数 找环和链 BZOJ [NOI2008 假面舞会]

Posted 2020-08-09 tech-chen

BZOJ 1064: [Noi2008]假面舞会

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Description

一年一度的假面舞会又开始了，栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一 个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号，主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感，主办方把面具分为k (k≥3)类，并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上，只有戴第i 类面具的人才能看到戴第i+1 类面具的人的编号，戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。 参加舞会的人并不知道有多少类面具，但是栋栋对此却特别好奇，他想自己算出有多少类面具，于是他开始在人群中收集信息。 栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号，他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号，因此，栋栋收集的信 息不能保证其完整性。现在请你计算，按照栋栋目前得到的信息，至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了k≥3，所以你必须将这条信息也考虑进去。

Input

第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔，n 表示主办方总共准备了多少个面具，m 表示栋栋收集了多少条信息。接下来m 行，每行为两个用空格分开的整数a, b，表示戴第a 号面具的人看到了第b 号面具的编号。相同的数对a, b 在输入文件中可能出现多次。

Output

包含两个数，第一个数为最大可能的面具类数，第二个数为最小可能的面具类数。如果无法将所有的面具分为至少3 类，使得这些信息都满足，则认为栋栋收集的信息有错误，输出两个-1。

Sample Input

【输入样例一】

6 5
1 2
2 3
3 4
4 1
3 5

【输入样例二】

3 3
1 2
2 1
2 3

Sample Output

【输出样例一】
4 4

【输出样例二】
-1 -1

HINT

100%的数据，满足n ≤ 100000, m ≤ 1000000。

网上的代码+我的注解：

  1 /*
  2 1.当图中有环时，k必定是环长度的约数，那么答案就是全部环的最大公约数和最小的大于3的公约数
  3 （而且可以看出这个最大公约数一定是这个大于3的最小公约数的倍数，
  4 证明：假设真正的结果是m，因为最大公约数一定是n*m(n>=1),大于三的最小公约数一定是m的约数，
  5 所以这个最大公约数一定是这个大于3的最小公约数的倍数。可以用这个方法从最大值找到最小值），
  6 若最大公约数小于3则无解；
  7 2.当图中没有环时，最小值毫无疑问就是3了，k最大就是所有联通块最长链
  8 （假设每个联通块的最长链都可以接到一起，不能在一个联通块里找两条链，因为他们是有限制关系的，不能接起来）的和。
  9 3技巧：这里面有个技巧，因为如果有两个面具能看见同一个或一个能看见两个，那这两个的一定属于同一类，而且也有可能出现这样的联通块：1->2->3->4->5且6->7->5这样就变得不好处理了。可以把有向边换成无向边正向的话类数+1，反向的话类数-1。这样一来如果找到已经表过号的点就是找到了环，环的长度就是abs(将要编的号-已有编号)。而最长链就是一个联通块内最大编号-最小编号（因为有可能出现负数或0）。
 10 实现时，所有边建长度为1的正向边和长度为-1的反向边，会容易处理很多(这样可以将所有点都标记成到某点距离为多少，可以方便计算环的长度)。
 11 
 12 时间复杂度分析：
 13 标号的时间复杂度为O（n+m），枚举的时间复杂度是O（n）,找公约数的时间为O（log(n)），所以总时间复杂度为O（nlog(n)+m）.
 14 */
 15 #include <iostream>
 16 #include <cstdio>
 17 #include <cstring>
 18 #include <algorithm>
 19 #include <cstdlib>
 20 #include <cmath>
 21 #define N 200000
 22 #define M 4000000
 23 
 24 using namespace std;
 25 
 26 int head[N],next[M],to[M],len[M];
 27 bool vis[N],bh[M];
 28 int d[N];
 29 int n,m,cnt,ans,tmax,tmin,an;
 30 
 31 inline void add(int u,int v,int w)
 32 {
 33     to[cnt]=v; len[cnt]=w; next[cnt]=head[u]; head[u]=cnt++;
 34 }
 35 
 36 inline void read()
 37 {
 38     memset(head,-1,sizeof head); cnt=0;
 39     scanf("%d%d",&n,&m);
 40     for(int i=1,a,b;i<=m;i++)
 41     {
 42         scanf("%d%d",&a,&b);
 43         add(a,b,1); add(b,a,-1);
 44     }
 45 }
 46 
 47 inline int gcd(int x,int y)/*ans的初值可以设为0，gcd(0,100)=100,只要把0放在第一位*/
 48 {
 49     int ys;
 50     while(y)
 51     {
 52         ys=x%y;
 53         x=y; y=ys;
 54     }
 55     return x;
 56 }
 57 
 58 inline void dfs(int u)
 59 {
 60     vis[u]=true;
 61     for(int i=head[u];~i;i=next[i])
 62     {
 63         if(vis[to[i]])/*找到了环*/
 64         {/*计算环的长度并对每个环的长度求最大公约数：abs(d[u]+len[i]-d[to[i]])，这个式子很好理解d[u]+len[i]-d[to[i]]，因为标记有可能是负值，所以要取绝对值*/
 65             ans=gcd(ans,abs(d[u]+len[i]-d[to[i]]));
 66         }
 67         else
 68         {
 69             d[to[i]]=d[u]+len[i];
 70             dfs(to[i]);
 71         }
 72     }
 73 }
 74 
 75 inline void tree(int u)
 76 {/*思路：将一个联通块找到第一个点标记为0，再用这个点找其他的点（不走重边），用所有点的编号的中的max-min+1，就是这个联通块中的结点数目*/
 77     vis[u]=true;
 78     tmax=max(tmax,d[u]);
 79     tmin=min(tmin,d[u]);
 80     for(int i=head[u];~i;i=next[i])
 81         if(!vis[to[i]])
 82         {
 83             bh[i]=bh[i^1]=true;
 84             d[to[i]]=d[u]+len[i];
 85             tree(to[i]);
 86         }
 87 }
 88 
 89 inline void go()
 90 {
 91     for(int i=1;i<=n;i++)
 92         if(!vis[i]) dfs(i);/*整张图有可能是森林*/
 93     if(ans)/*如果图中有环的话，那么ans就不是0*/
 94     {
 95         for(an=3;an<ans&&ans%an;an++);/*再用ans寻找大于3的（可能等于ans），且能整除ans的，也就是环的最小公约数，是最小*/
 96     }
 97     else/*没有环的情况*/
 98     {
 99         memset(vis,0,sizeof vis);
100         for(int i=1;i<=n;i++)
101             if(!vis[i])/*最大是每个联通块中的最长链的长度和，没找到一个！vis[i]，就是一个联通块*/
102             {
103                 tmax=tmin=d[i]=0;
104                 tree(i);
105                 ans+=tmax-tmin+1;
106             }
107         an=3;/*最小就是3了*/
108     }
109     if(ans<3) ans=an=-1;/*注意要把这个ans小于3，放在最后面，因为可能在没有环的情况下，把各个联通块的最长路径加在一起也超不过3，比如那种极端的网状图，最长路径就有可能是1了，所以要把这个ans<3放在外面。*/
110     /*我一开始就是仅仅把ans<3放到了有环的判断中，结果错了一个点*/ 
111     printf("%d %d\n",ans,an);
112 }
113 
114 int main()
115 {
116     read();go();
117     return 0;
118 }

我的代码：

  1 #define N 100010
  2 #define M 1000100
  3 #include<iostream>
  4 #include<cstring>
  5 #include<cmath>
  6 using namespace std;
  7 #include<cstdio>
  8 int n,m,ans=0,an,head[N],t=-1,d[N];
  9 bool vis[N]={0},bianflag[M<<1];
 10 struct Edge{
 11     int v,w,last;
 12 }edge[M<<1];
 13 int read1()
 14 {
 15     int ret=0,ff=1;
 16     char s=getchar();
 17     while(s<‘0‘||s>‘9‘)
 18     {
 19         if(s==‘-‘) ff=-1; 
 20         s=getchar();
 21     }
 22     while(s>=‘0‘&&s<=‘9‘)
 23     {
 24         ret=ret*10+s-‘0‘;
 25         s=getchar();
 26     }
 27     return ret*ff;
 28 }
 29 void add_edge(int u,int v,int w)
 30 {
 31     ++t;
 32     edge[t].v=v;
 33     edge[t].w=w;
 34     edge[t].last=head[u];
 35     head[u]=t;
 36 }
 37 void input()
 38 {
 39     n=read1();m=read1();
 40     int a,b;
 41     memset(head,-1,sizeof(head));
 42     for(int i=1;i<=m;++i)
 43     {
 44         scanf("%d%d",&a,&b);
 45         add_edge(a,b,1);
 46         add_edge(b,a,-1);
 47      } 
 48 }
 49 int gcd(int a,int b)
 50 {
 51     if(!b) return a;
 52     return gcd(b,a%b);
 53 }
 54 void dfs1(int k)
 55 {
 56     vis[k]=true;
 57     for(int l=head[k];l!=-1;l=edge[l].last)
 58     {
 59         if(vis[edge[l].v])
 60         {
 61             ans=gcd(ans,abs(d[k]+edge[l].w-d[edge[l].v]));
 62         }
 63         else {
 64             d[edge[l].v]=d[k]+edge[l].w;
 65             dfs1(edge[l].v);
 66         }
 67      } 
 68 }
 69 void dfs2(int k,int &maxx,int &minn)
 70 {
 71     vis[k]=true;
 72     maxx=max(maxx,d[k]);
 73     minn=min(minn,d[k]);
 74     for(int l=head[k];l!=-1;l=edge[l].last)
 75     {
 76         if(bianflag[l]) continue;
 77         bianflag[l]=true;
 78         bianflag[l^1]=true;
 79         d[edge[l].v]=d[k]+edge[l].w;
 80         dfs2(edge[l].v,maxx,minn);
 81     }
 82  } 
 83 int main()
 84 {
 85     input();
 86     for(int i=1;i<=n;++i)
 87     {
 88         if(!vis[i]) dfs1(i); 
 89     }
 90     if(ans)
 91     {
 92             for(an=3;an<ans&&ans%an;++an); 
 93         
 94      }
 95      else 
 96      {
 97          an=3;
 98          memset(vis,false,sizeof(vis));
 99         for(int i=1;i<=n;++i)
100         {
101             if(!vis[i])
102             {
103                 int maxx,minn;
104                 maxx=minn=d[i]=0;
105                 dfs2(i,maxx,minn);
106                 ans+=maxx-minn+1;
107                 //cout<<maxx<<" "<<minn<<" "<<ans<<endl; 
108             }
109          } 
110      }
111      if(ans<3)
112     {
113         ans=-1;an=-1; 
114     }
115      printf("%d %d",ans,an);
116     return 0;
117 }
118