BZOJ 2282 & 树的直径

Posted 2020-06-13

SDOI2011的Dayx第2题

题意：

　　在树中找到一条权值和不超过S的链（为什么是链呢，因为题目中提到“使得路径的两端都是城市”，如果不是链那不就不止两端了吗——怎么这么机智的感觉...），使得不在链上的点与这条链的距离最大值最小。

SOL：

　　最大值最小！这不是二分的节奏么？然而hzw学长说二分更直观我却一点都没有体会到...

　　这道题的关键是猜想（貌似还挺好想）并证明（貌似一直都是可有可无的东西，不过还挺好证的），路径一定在直径上，那么我们先两遍*FS找到直径，用一个队列维护链上的路径，以及预处理出直径上的点其子树中距离最远的点的距离，再维护路径两头距离直径的两端的距离即可，答案即这三者的最大值。

　　总感觉应该挺快的吧但是居然比他们二分答案的慢了几倍（A得窝囊），我也就是用了一个set而已（方便取出与删除然而我觉得可以再优化不用这个set...

　　关于证明：（自己口胡的证明，极其不严谨

　　　　证明还是非常好证的（也就自己yy），我们假设一条直径，假设最优的链不在这条直径上——我们可以把这条链看作一个点，那么可以证明它的最远点一定是直径的两个端点之一（否则树的直径就可以更长），那么显然这条链是包含直径的一部分的，再证全部包含，只要在部分包含的基础上对延伸进行讨论，就得证了吧...（感觉对了就好了不过是给自己a掉多找一个正当理由...）

CODE：

代码实现不是很难，然而我RE几次方了把DFS改成BFS又把自带queue改成手工队列——结果小细节错误百出...

  1 /*==========================================================================
  2 # Last modified: 2016-02-12 
  3 # Filename: 2016trainning1 t1.cpp
  4 # Description: 
  5 ==========================================================================*/
  6 #define me AcrossTheSky 
  7 #include <cstdio> 
  8 #include <cmath> 
  9 #include <ctime> 
 10 #include <string> 
 11 #include <cstring> 
 12 #include <cstdlib> 
 13 #include <iostream> 
 14 #include <algorithm> 
 15    
 16 #include <set> 
 17 #include <map> 
 18 #include <stack> 
 19 #include <queue> 
 20 #include <vector> 
 21 #define lowbit(x) (x)&(-x) 
 22 #define INF 1000000000 
 23 #define FOR(i,a,b) for((i)=(a);(i)<=(b);(i)++) 
 24 #define FORP(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++) 
 25 #define FORM(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--) 
 26 #define ls(a,b) (((a)+(b)) << 1) 
 27 #define rs(a,b) (((a)+(b)) >> 1) 
 28 #define check(ch) (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
 29 #define maxn 300001
 30 using namespace std; 
 31 typedef long long ll; 
 32 typedef unsigned long long ull; 
 33 int ans=INF;
 34 void read(int &t){
 35     int ch;
 36     for(ch=getchar( );!check(ch);ch=getchar( ));
 37     t=ch-‘0‘;
 38     for(ch=getchar( );check(ch);ch=getchar( ))t*=10,t+=ch-‘0‘;
 39 }
 40 /*==================split line==================*/
 41 int n,s,sume=0,maxx;
 42 struct Edge{
 43     int to,len;
 44 }e[maxn*2];
 45 struct cmp{
 46     bool operator()(const int &x,const int &y) const{
 47         return x>y;
 48     } 
 49 };
 50 int first[maxn],next[maxn*2],nextn[maxn],dis[maxn],temp[2],f[maxn],pre[maxn];
 51 int q[maxn*2];
 52 bool vis[maxn];
 53 set<int,cmp> b;
 54 void addedge(int x,int y,int len){
 55     sume++; e[sume].to=y; e[sume].len=len;
 56     next[sume]=first[x]; first[x]=sume;
 57 }
 58 void bfs(int node,int d){
 59     memset(q,0,sizeof(q));
 60     int front=1,tail=1; dis[node]=0;
 61     q[front]=node; vis[node]=true;
 62     while (front<=tail){
 63         int x=q[front];
 64         front++;
 65         if (dis[x]>maxx) maxx=dis[x],temp[d]=x;
 66         for (int i=first[x];i!=-1;i=next[i])
 67         if (!vis[e[i].to]){
 68             pre[e[i].to]=x;
 69             dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].len;
 70             tail++; q[tail]=e[i].to; vis[e[i].to]=true;
 71         }
 72     }
 73 }
 74 void bfs1(int node,int root){
 75     memset(q,0,sizeof(q));
 76     int front=1,tail=1; q[front]=node;
 77     while (front<=tail){
 78         int x=q[front]; front++; vis[x]=true;
 79         f[root]=max(f[root],dis[x]-dis[root]);
 80         for (int i=first[x];i!=-1;i=next[i])
 81         if (e[i].to!=nextn[node] && !vis[e[i].to]){
 82             tail++; q[tail]=e[i].to;
 83         }
 84     }
 85 }
 86 int main(){
 87     read(n); read(s);
 88     FORP(i,1,n) first[i]=-1;
 89     FORP(i,1,n-1) {
 90         int x,y,l;
 91         read(x); read(y); read(l);
 92         addedge(x,y,l); addedge(y,x,l);
 93     }
 94     maxx=0; bfs(1,0);
 95     memset(vis,false,sizeof(vis));
 96     maxx=0; bfs(temp[0],1);
 97     int L=temp[1],R=temp[0];
 98     memset(vis,false,sizeof(vis));
 99     for (int i=L;i!=R;i=pre[i]) nextn[pre[i]]=i;
100     L=temp[0],R=temp[1];
101     for (int i=L;i!=R;i=nextn[i]) { vis[i]=true; bfs1(i,i); } 
102     vis[R]=true; bfs1(R,R);
103     int llen=0,rlen=maxx,head=L,tail=L,len=0;
104      
105     while (true){
106         if (head==R) break;
107         if (dis[nextn[head]]<s) {
108             len=dis[nextn[head]];
109             head=nextn[head];
110             b.insert(f[head]);
111             rlen=maxx-dis[head];
112             continue;
113         }
114         break;
115     }
116      
117     int t=max(rlen,max(llen,*b.begin()));
118     if (t<ans) ans=t;
119     while (head!=R){
120         len=dis[nextn[head]];
121         head=nextn[head];
122         rlen=maxx-dis[head];
123         while(len-dis[tail]>s){
124             b.erase(f[tail]); tail=nextn[tail]; llen=dis[tail];
125         }
126         t=max(rlen,max(llen,*b.begin()));
127         if (t<ans) ans=t;
128     }
129     printf("%d",ans);
130 }

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