Tarjan+SPFAAPIO2009Atm

Posted 2020-08-09 にしきのまき

一、算法介绍

tarjan——求解有向图强连通分量。这个算法在本人的一篇blog中有介绍，这里就不赘述了。贴上介绍tarjan的的blog链接：http://www.cnblogs.com/Maki-Nishikino/p/5866191.html

那么接下来说说SPFA：

SPFA全称Shortest Path Faster Algorithm，用于求解单源最短路。既然名字中有“Faster”，那它就一定有过人之处，事实上它也的确比Dijkstra和Bellman-Ford更高效。

它的思路大致如下：
1、先用邻接表把图存下来，并且规定一个数组d，d[i]表示起点到i的最短路程；

2、建立一个队列，将起点放入队列；

3、对队首元素执行松弛操作，遍历所有以队首元素为起点的边，如果被遍历的边可以使到被遍历的边的终点的路径变短，那么就更新这个最短路径，并把被遍历的边的终点放到队尾；

4、每完成一次松弛，就令队首元素出队，重复3，直到队列里没有元素。

原谅博主懒得贴伪代码，我就直接讲题了，反正题解里也有模板#手动滑稽

二、APIO2009 Atm题解

原题链接（来自bzoj）：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1179

题目描述：

输入：

  第一行包含两个整数N、M。N表示路口的个数，M表示道路条数。接下来M行，每行两个整数，这两个整数都在1到N之间，第i+1行的两个整数表示第i条道路的起点和终点的路口

编号。接下来N行，每行一个整数，按顺序表示每个路口处的ATM机中的钱数。接下来一行包含两个整数S、P，S表示市中心的编号，也就是出发的路口。P表示酒吧数目。接下来

的一行中有P个整数，表示P个有酒吧的路口的编号。

输出：

输出一个整数，表示Banditji从市中心开始到某个酒吧结束所能抢劫的最多的现金总数。

样例输入：

6 7

1 2

2 3

3 5

2 4

4 1

2 6

6 5

10

12

8

16

1

5

1 4
4

3

5

6

样例输出：

47

数据范围：

  50%的输入保证N, M<=3000。所有的输入保证N, M<=500000。每个ATM机中可取的钱数为一个非负整数且不超过4000。输入数据保证你可以从市中心沿着Siruseri的单向的道路到达其中的至少一个酒吧。

---

对于这道题，我们考虑先用tarjan求出它的所有强连通分量，再把同一个强连通分量上的ATM机的钱加起来，让一个强连通分量上的点缩成一个点。然后以市中心s为起点，用SPFA跑出s到其他点的最长（最有价值）路，比较酒吧所在点的d值，输出大的即可。

附上代码：

 

  1 #include<stdio.h>
  2 #include<algorithm>
  3 #include<string.h>
  4 using namespace std;
  5 struct node
  6 {
  7     int v;
  8     int next;
  9 };
 10 int n,m;
 11 node e[500010],map[500010];//邻接表存图 
 12 int st[500010],head[500010],cnt;
 13 int atm[500010],money[500010];
 14 int d[500010],q[500010];//最短路径＆SPFA要用的队列 
 15 void build(int a,int b)
 16 {
 17     e[++cnt].v=b;
 18     e[cnt].next=st[a];
 19     st[a]=cnt;
 20 }//建图找强连通分量 
 21 int stack[500010],top;//tarjan需要的栈 
 22 int dfn[500010],low[500010],dex;//时间戳（深搜序）、可回溯到的最早栈中时间戳、次序编号 
 23 bool vis[500010];//tarjan时判断点是否在栈中，SPFA时判断点是否在队列中 
 24 int color[500010],num;//表示同一强连通分量上的点 
 25 void tarjan(int x)//tarjan找强连通分量 
 26 {
 27     dfn[x]=++dex;
 28     low[x]=dex;
 29     vis[x]=true;
 30     stack[++top]=x;//当前点入栈
 31     int i;
 32     for(i=st[x];i!=0;i=e[i].next)//枚举以当前点为起点的边 
 33     {
 34         int temp=e[i].v;//temp为当前被枚举边的终点 
 35         if(!dfn[temp])//如果当前边终点未被处理 
 36         {
 37             tarjan(temp);
 38             low[x]=min(low[x],low[temp]);
 39         }
 40         else if(vis[temp])low[x]=min(low[x],dfn[temp]);
 41     }
 42     if(dfn[x]==low[x])
 43     {
 44         vis[x]=false;
 45         color[x]=++num;//标记当前强连通分量内的点  
 46         while(stack[top]!=x)//栈顶元素依次出栈 
 47         {
 48             color[stack[top]]=num;
 49             vis[stack[top--]]=false;
 50         }
 51         top--;
 52     }
 53 }
 54 void add()// 把同一强连通分量上的点缩成一个点，把这些点连成一张新图 
 55 {
 56     cnt=0;
 57     int i,j;
 58     for(i=1;i<=n;i++)
 59     {
 60         for(j=st[i];j!=0;j=e[j].next)
 61         {
 62             int temp=e[j].v;
 63             if(color[i]!=color[temp])
 64             {
 65                 map[++cnt].v=color[temp];
 66                 map[cnt].next=head[color[i]];
 67                    head[color[i]]=cnt;
 68             }
 69         }
 70         
 71     }
 72 }
 73 void spfa(int x)//SPFA找最长路 
 74 {
 75     memset(vis,false,sizeof(vis));
 76     int l=1,r=1;
 77     q[l]=x;//初始点放入队列 
 78     vis[x]=true;
 79     d[x]=money[x];
 80     while(l<=r)
 81     {
 82         int u=q[l++];
 83         for(int i=head[u];i!=0;i=map[i].next)//遍历所有以当前点为起点的边 
 84         {
 85             int v=map[i].v;
 86             if(d[v]<d[u]+money[v])
 87             {
 88                 d[v]=d[u]+money[v];
 89                 if(vis[v])continue;
 90                 q[++r]=v;//如果当前拓展的边的终点不在队列里，就把它放入队尾 
 91                 vis[v]=true;
 92             }
 93         }
 94         vis[u]=false;
 95     }
 96 }
 97 int main()
 98 {
 99     int a,b,i,s,p,o,ans=0;
100     scanf("%d%d",&n,&m);
101     for(i=1;i<=m;i++)
102     {
103         scanf("%d%d",&a,&b);
104         build(a,b);
105     }//建初始图 
106     for(i=1;i<=n;i++)
107     {
108         if(!dfn[i])tarjan(i);//找强连通分量
109     }
110     add();//建新图 
111     for(i=1;i<=n;i++)
112     {
113         scanf("%d",&atm[i]);
114         money[color[i]]+=atm[i];
115     }
116     scanf("%d%d",&s,&p);
117     spfa(color[s]);//找单源最短路 
118     for(i=1;i<=p;i++)
119     {
120         scanf("%d",&o);
121         ans=max(ans,d[color[o]]);//找到以酒吧为终点的最长路 
122     }
123     printf("%d",ans);
124     return 0;
125 }

APIO2009 Atm

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