最短路径--SPFA 算法

Posted 2020-08-08 风中的簌雨

适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止

期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

 

实现方法：

　　建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。

判断有无负环：
　　如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

 

首先建立起始点a到其余各点的
最短路径表格

                                  

首先源点a入队，当队列非空时：
　１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：

                                  

在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点
需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d

队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：

                                 

在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要
入队，此时队列中的元素为c，d，e

队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：

                                 

在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此
e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f

 队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

 

 

                               

在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g

队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：

                               

在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入队，此时队列中元素为g，e

队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：

                           

在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，b
队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

 

                          

在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b

队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：

                         

在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了

最终a到g的最短路径为14

 

SPFA优化算法：

/*

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm) [图的存储方式为邻接表]

是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。

算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，

并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。

它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。

SPFA 在形式上和BFS非常类似，不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中

一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本

身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。

判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。

SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL：

SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，

否则插入队尾。

LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入

到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。

引用网上资料，SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。

在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。

 

*/

 

 1 //用数组实现邻接表存储，pnt[i,0]表示与i相邻的结点个数，pnt[i,1...k]存储与i相邻的点 
 2 int  pnt[MAXN][MAXN]; 
 3 int  map[MAXN][MAXN]; //map[i,j]为初始输入的i到j的距离，并且map[i,i]=0;未知的map[i,j]=INF; 
 4 int  dis[MAXN]; 
 5 char vst[MAXN]; 
 6  
 7 int SPFA(int n,int s) 
 8 { 
 9     int i, pri, end, p, t; 
10     memset(vst, 0, sizeof(vst)); 
11     for (i=1; i<=n; i++) 
12         dis[i] = INF; 
13     dis[s] = 0; 
14     vst[s] = 1; 
15     Q[0] = s; pri = 0; end = 1; 
16     while (pri < end) 
17     { 
18         p = Q[pri]; 
19         for (i=1; i<=pnt[p][0]; i++) 
20         { 
21             t = pnt[p][i]; 
22             //先释放，释放成功后再判断是否要加入队列 
23             if (dis[p]+map[p][t] < dis[t]) 
24             { 
25                 dis[t] = dis[p]+map[p][t]; 
26                 if (!vst[t]) 
27                 { 
28                     Q[end++] = t; 
29                     vst[t] = 1; 
30                 } 
31             } 
32         } 
33         vst[p] = 0; 
34         pri++; 
35     } 
36     return 1; 
37 } 

 

 1 正规邻接表存储： 
 2 /* ------- 邻接表存储 ----------- */ 
 3 struct Edge 
 4 { 
 5     int e;  //终点 
 6     int v;  //边权 
 7     struct Edge *nxt; 
 8 }; 
 9 struct 
10 { 
11     struct Edge *head, *last; 
12 } node[MAXN]; 
13 /* -------------------------------- */ 
14  
15 /*  添加有向边<起点,终点,边权>  */ 
16 void add(int s,int e,int v) 
17 { 
18     struct Edge *p; 
19     p = (struct Edge*)malloc(sizeof(struct Edge)); 
20     p->e = e; 
21     p->v = v; 
22     p->nxt = NULL; 
23     if (node[s].head == NULL) 
24     { 
25         node[s].head = p; 
26         node[s].last = p; 
27     } 
28     else 
29     { 
30         node[s].last->nxt = p; 
31         node[s].last = p; 
32     } 
33 } 
34  
35 /*  松弛，成功返回1，否则0  */ 
36 int relax(int s,int e,int v) 
37 { 
38     if (dis[s]+v < dis[e]) 
39     { 
40         dis[e] = dis[s]+v; 
41         return 1; 
42     } 
43     return 0; 
44 } 
45  
46 /*  SPFA有负权回路返回0,否则返回1并且最短路径保存在dis[]  */ 
47 int n; 
48 int vst[MAXN], cnt[MAXN]; 
49 int Q[MAXN*MAXN]; 
50 int SPFA(int s0) 
51 { 
52     int i, p, q; 
53     struct Edge *pp; 
54  
55     memset(vst, 0, sizeof(vst)); 
56     memset(cnt, 0, sizeof(cnt)); 
57     for (i=0; i<=n; i++) 
58         dis[i] = INF; 
59     dis[s0] = 0; 
60  
61     Q[0] = s0; p = 0; q = 1; 
62     vst[s0] = 1; 
63     cnt[s0]++; 
64     while (p < q) 
65     { 
66         pp = node[Q[p]].head; 
67         while (pp) 
68         { 
69             if (relax(Q[p], pp->e, pp->v) && !vst[pp->e]) 
70             { 
71                 Q[q++] = pp->e; 
72                 vst[pp->e] = 1; 
73                 cnt[pp->e]++; 
74                 if (cnt[pp->e] > n) //有负权回路 
75                     return 0; 
76             } 
77             pp = pp->nxt; 
78         } 
79         vst[Q[p]] = 0; 
80         p++; 
81     } 
82     return 1; 
83 }

 1 /**通过poj 3159 证明：还是用数组来实现邻接表比用链表来实现邻接表效率高，  **/ 
 2  
 3 #define MAX_node 10000 
 4 #define MAX_edge 100000 
 5  
 6 struct Edge 
 7 { 
 8     int e, v; 
 9 } edge[MAX_edge]; 
10  
11 int neg;    //number of edge 
12 int node[MAX_node];  //注意node要用memset初始化全部为-1 
13 int next[MAX_edge]; 
14  
15 void add(int s,int e,int v) 
16 { 
17     edge[neg].e = e; 
18     edge[neg].v = v; 
19     next[neg] = node[s]; 
20     node[s] = neg++; 
21 } 
22 /*  该题还证明用栈来实现SPFA比用队列来实现效率高，还节约空间 */ 
23 int SPFA(int s0)//栈实现 
24 { 
25     int i, t, p, top; 
26  
27     memset(vst, 0, sizeof(vst)); 
28     for (i=1; i<=n; i++) 
29         dis[i] = INF; 
30     dis[s0] = 0; 
31  
32     Q[0] = s0; 
33     top = 1; 
34     vst[s0] = 1; 
35     while (top) 
36     { 
37         t = Q[--top]; 
38         vst[t] = 0; 
39         p = node[t]; 
40         while (p != -1) 
41         { 
42             if (relax(t, edge[p].e, edge[p].v) && !vst[edge[p].e]) 
43             { 
44                 Q[top++] = edge[p].e; 
45                 vst[edge[p].e] = 1; 
46             } 
47             p = next[p]; 
48         } 
49     } 
50     return 1; 
51 }

 

 

1. /*
2. SPFA(Shortest Path Faster Algorithm) [图的存储方式为邻接表]
3. 是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。
4. 算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，
5. 并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。
6. 它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。
8. SPFA 在形式上和BFS非常类似，不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中
9. 一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本
10. 身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
12. 判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。
14. SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL：
15. SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，
16. 否则插入队尾。
17. LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入
18. 到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。
19. 引用网上资料，SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。
20. 在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。
21. */ 
22.  
23. //用数组实现邻接表存储，pnt[i,0]表示与i相邻的结点个数，pnt[i,1...k]存储与i相邻的点 
24. int  pnt[MAXN][MAXN]; 
25. int  map[MAXN][MAXN]; //map[i,j]为初始输入的i到j的距离，并且map[i,i]=0;未知的map[i,j]=INF; 
26. int  dis[MAXN]; 
27. char vst[MAXN]; 
28.  
29. int SPFA(int n,int s) 
30. { 
31.     int i, pri, end, p, t; 
32.     memset(vst, 0, sizeof(vst)); 
33.     for (i=1; i<=n; i++) 
34.         dis[i] = INF; 
35.     dis[s] = 0; 
36.     vst[s] = 1; 
37.     Q[0] = s; pri = 0; end = 1; 
38.     while (pri < end) 
39.     { 
40.         p = Q[pri]; 
41.         for (i=1; i<=pnt[p][0]; i++) 
42.         { 
43.             t = pnt[p][i]; 
44.             //先释放，释放成功后再判断是否要加入队列 
45.             if (dis[p]+map[p][t] < dis[t]) 
46.             { 
47.                 dis[t] = dis[p]+map[p][t]; 
48.                 if (!vst[t]) 
49.                 { 
50.                     Q[end++] = t; 
51.                     vst[t] = 1; 
52.                 } 
53.             } 
54.         } 
55.         vst[p] = 0; 
56.         pri++; 
57.     } 
58.     return 1; 
59. }