组合数取模

Posted 2020-06-13 AaronPolaris

1.n,m≤10^3，p无要求

利用杨辉三角和组合数的关系暴力求解，O(n^2)。

2.n,m≤10^6，p≤10^9 可能是合数

分解质因数+快速幂

3.n,m≤10^9,p≤10^5且为质数

Lucas定理，多次询问可以预处理阶乘和阶乘的逆元。(详见bzoj1951代码)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 100005
using namespace std;
const int p[5]={2,3,4679,35617,999911658};
int n,m,fac[maxn],inv[maxn];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline ll power(ll x,ll y,ll p)
{
	ll ans=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%p) if (y&1) ans=ans*x%p;
	return ans;
}
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if (!b){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;x=y;y=t-a/b*x;
}
inline ll getinv(ll a,ll b)
{
	ll x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
	return (x%b+b)%b;
}
inline int c(int n,int m,int p)
{
	if (n<m) return 0;
	if (n<p&&m<p) return fac[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;
	return c(n/p,m/p,p)*c(n%p,m%p,p)%p;
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	ll ans=0;
	m%=(p[4]+1);
	if (!m){printf("0\n");return 0;}
	F(i,0,3)
	{
		fac[0]=1;
		F(j,1,p[i]-1) fac[j]=fac[j-1]*j%p[i];
		inv[0]=inv[1]=1;
		F(j,2,p[i]-1) inv[j]=(p[i]/j+1)*inv[j-p[i]%j]%p[i];
		F(j,2,p[i]-1) inv[j]=inv[j-1]*inv[j]%p[i];
		ll t1=0,t2=getinv(p[4]/p[i],p[i]);
		for(int j=1;j*j<=n;j++) if (n%j==0)
		{
			(t1+=c(n,j,p[i]))%=p[i];
			if (j*j==n) continue;
			(t1+=c(n,n/j,p[i]))%=p[i];
		}
		(ans+=(ll)p[4]/p[i]%p[4]*t2%p[4]*t1%p[4])%=p[4];
	}
	(ans+=p[4])%=p[4];
	cout<<power(m,ans,p[4]+1)<<endl;
}

4.n,m≤10^9,p≤10^5可能是合数

我们把p进行质因数分解，分解为若干个pi^ci的成绩，再将方案数对每一个pi^ci取模，最后用中国剩余定理合并。

现在的主要问题就是如何求出n! mod pi^ci和n!关于pi^ci的逆元，(其中pi为质数)。

假设pi=5(其余同理)，我们可以发现如下关系：

n!=(1*2*3*4*6*7*8*9*11*…)*5^(n/5)*(n/5)!

把所有p的倍数的项单独处理，后面的(n/5)!就可以递归求解。

这样我们就可以预处理阶乘，将p的倍数的项省略，用1代替。分子和分母类似，预处理阶乘的逆元。最后p的若干次幂用快速幂。注意最终p的次数是分母的次数减去分子的次数。

最终要注意sum<n和sum>n的情况的处理。(详见bzoj2142代码)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define maxn 200005
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,mod,cnt,sum,tot;
ll a[maxn],b[maxn],p[maxn],pc[maxn],fac[maxn];
inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline void divide(int n)
{
	for(int i=2;i*i<=n;i++) if (n%i==0)
	{
		p[++cnt]=i;pc[cnt]=1;
		while (n%i==0) pc[cnt]*=i,n/=i;
	}
	if (n>1) p[++cnt]=n,pc[cnt]=n;
}
inline ll power(ll x,ll y,ll p)
{
	ll ans=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%p) if (y&1) ans=ans*x%p;
	return ans;
}
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if (!b){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;x=y;y=t-a/b*x;
}
inline ll inv(ll a,ll b)
{
	ll x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
	return (x%b+b)%b;
}
inline ll calc(ll n,ll p,ll pc)
{
	if (n<p) return fac[n];
	tot+=n/p;
	return fac[n%pc]*power(fac[pc-1],n/pc,pc)%pc*calc(n/p,p,pc)%pc;
}
inline ll solve(ll p,ll pc)
{
	fac[0]=1;
	F(i,1,pc-1) fac[i]=fac[i-1]*(i%p?i:1)%pc;
	tot=0;
	ll t1=calc(n,p,pc),t2=1;
	ll tmp=tot;
	F(i,1,pc-1) fac[i]=fac[i-1]*(i%p?inv(i,pc):1)%pc;
	tot=0;
	F(i,1,m) t2=t2*calc(a[i],p,pc)%pc;
	return t1*t2%pc*power(p,tmp-tot,pc)%pc;
}
int main()
{
	mod=read();n=read();m=read();
	F(i,1,m){a[i]=read();sum+=a[i];}
	if (sum>n){printf("Impossible\n");return 0;}
	if (sum<n) a[++m]=n-sum;
	divide(mod);
	F(i,1,cnt) b[i]=mod/pc[i];
	ll ans=0;
	F(i,1,cnt)
	{
		ll t1=solve(p[i],pc[i]),t2=inv(b[i],pc[i]);
		ans=(ans+t1*t2%mod*b[i]%mod)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}