为什么两个numpy (n,)向量的矩阵@乘积是点积，而不是外积？

Posted 2023-02-28

如果我有 x.shape = (n,) 和 y.shape = (n,)，那么 x @ y 返回它们的点积，而不是它们的外积。我想知道这是否有一些潜在的原因，或者是否只是为了方便。

谢谢。

答案

函数 np.matmul 当 @ 操作符被引入到Python中，新函数被设计成类似于 np.dot 为合理。

那为什么 np.dot(vector, vector) 执行内部产品？

前 @，函数 np.dot 实际上，线性代数中的向量并不是1D数组，而是其中一个维度为1的矩阵，为了将1D数组与矩阵相乘，必须将前者提升为行向量或列向量，这里有三种情况。

• 矩阵乘向量, 1D数组被提升为行向量(1xN)以使操作有效。
• 矩阵按向量计算，1D数组晋升为列向量(Nx1)
• 逐个向量，左操作数晋升为行向量，右操作数晋升为列向量，和前面两种情况一样。

在最后一种情况下，我们在两个向量之间有一个正常的内积，这个策略既符合逻辑又实用，因为内积被更多的使用。

另一答案

在维基文章中，我们可以看到 dot product 将其定义为

在代数上，点积是两个数列的相应项的乘积之和。

(它提到 inner product 多次 outer 无）。)

如果你把1d数组看作是数字序列，那么 A@B 作为点积是自然的。

二维矩阵乘积可以描述为? dot product A的所有行与B的所有列的关系。

关键项，在两个 matmul 和 dot 是 "产品之和"。

对于1d数组。np.sum(A*B) 是产品之和的另一种表达方式，其中的 * 是元素的互换。

一个(m,1)@与一个(1,n)确实会产生一个(m,n)的外积，但那实际上是一个二维矩阵积，在共享的尺寸1维上进行了缩减。

我们不需要'乘积之和'机制来做一个 outer 两个1d数组的乘积。

In [29]: np.array([1,2,3])[:,None] * np.array([10,100])                         
Out[29]: 
array([[ 10, 100],
       [ 20, 200],
       [ 30, 300]])
In [30]: np.array([1,2,3])[:,None] @ np.array([10,100])[None,:]                 
Out[30]: 
array([[ 10, 100],
       [ 20, 200],
       [ 30, 300]])