在O（1）时间复杂度中nCr％p的查询
另一答案
在O（1）时间复杂度中nCr％p的查询
以上是关于求n为模n的前r个二项式系数之和的算法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
求n为模n的前r个二项式系数之和的算法
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了求n为模n的前r个二项式系数之和的算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
我正在尝试找到固定n的前r个二项式系数的和。
（（nC1 + nC2 + nC3 + ... + nCr）％M
其中r <= n。
是否有解决此问题的有效算法？
答案
请注意，固定n的“第一”二项式系数是nC0。让f(n) = nC0 + nC1 + ... + nC(r-1)。使用“帕斯卡三角形”的标识，nCk = (n-1)C(k-1) + (n-1)Ck我们有
nC0 + nC1 + nC2 + ... + nC（r-1）=（n-1）C（-1）+（n-1）C0 +（n-1）C0 +（n-1）C1 +（n-1）C1 +（n-1）C2 + ... +（n-1）C（r-2）+（n-1）C（r-1）= 2 [（（n-1）C0 +（n-1）C1 +（n-1）C2 + ... +（n-1）C（r-2）] +（n-1）C（r- 1）= 2 [（（n-1）C0 + ... +（n-1）C（r-1）]-（n-1）C（r-1），即
f(n) = 2f(n-1) - (n-1)C(r-1)因此，可以通过将前一个值加倍并减去(n-1)C(r-1)，从前一个值计算出每个和。例如，如果r=3，则
f（0）= 1f（1）= 1 +1 = 2 = 2f（0）-0C2，f（2）= 1 + 2 + 1 = 4 = 2f（1）-1C2，f（3）= 1 + 3 + 3 = 7 = 2f（2）-2C2，f（4）= 1 + 4 + 6 = 11 = 2f（3）-3C2，f（5）= 1 + 5 + 10 = 16 = 2f（4）-4C2，等等。
要执行mod m的计算，您需要预先计算二项式系数(n-1)C(r-1) mod m。如果m为质数，则二项式系数mod m以周期m^k循环（m的幂大于r-1）。如果m是素数的幂，则结果要复杂得多。 （请参见http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/BinCoeff.pdf。）如果m具有多个素数，则可以使用中国余数定理将计算结果简化为以前的情况。
另一答案
我的第一个回答由于以下几个原因而不能令人满意，其中一个原因是我所引用的论文难以理解和实施。因此，我将针对以下问题提出其他解决方案。
[我们想计算固定n为nC0 + nC1 + ... + nC(r-1)，模M的前r个二项式系数之和。与其通过减少n来减少nCk的计算，还不如减少k：我们需要[C0 ]已经作为总和的一部分；另外，我们的r可能比n小得多，因此通过增加n来获得值可能远不如增加r效率高。]
[这里是想法：首先请注意，如果r> n / 2，则我们有nC(k-1)其中n-r
nC0 + ... + nC(r-1) = 2^n - (nCr + ... + nCn) = 2^n - (nC0 + ... + nC(n-r))按顺序计算总和的项。如果整数没有大小限制，我们可以计算
nCk = n!/(k!(n-k)!) = n!/((k-1)!(n-(k-1)!) x (n-k+1)/k = nC(k-1) x (n-k+1)/k问题是数字nCi（因此求和）会变得很大，因此我们必须使用大整数，这会减慢计算速度。但是，我们只需要结果mod M，因此，如果我们在循环内执行计算mod M，则可以使用
sum = 0; nCi = 1; // i=0 for i = 1 to r-1 sum += nCi; nCi *= (n-k+1); nCi /= k; sum %= M;s。总和和积是简单的mod M，但除法不是。要将nCi除以k mod 10 ^ 6，我们需要以2 ^ s 5 ^ t u的形式写nCi和k，其中u相对质数为10 ^ 6。然后我们减去指数，然后乘以u mod 10 ^ 6的倒数。为了以该形式编写nCi，我们还需要以该形式编写n-k + 1。
将k和n-k + 1设为2 ^ s 5 ^ tu的形式，其中u相对质数为10 ^ 6，我们可以反复地检查除数，然后除以2，然后除以5。似乎应该有一个更快的方法。
无论如何，算法现在是O（r），这似乎是最快的方法，除非发现以简单的数学表达式表示总和。