如何以最有效的方式将两个未排序的数组合并成一个排序的数组？

Posted 2021-04-12

假设我们有两个数组。

A[] = {7, 15, 2};     //*Size: n* 

B[] = {5, 96, 15};    //*Size: m*

而我们想得到 c[] = {2, 5, 7, 15, 15, 96}.

我有一个天真的方法。第一次对两个数组进行排序 A 和 B 然后将它们合并，得到 c.

时间复杂度 : O (nlogn + mlogm + (n + m))

空间复杂度 : O ( (n+m) )

但是有没有一种有效的方法呢？

答案

我有一个天真的方法：第1次将两个数组A...进行排序。 它不能做得更好，因为这将意味着排序速度比 O(nlogn) 为一般情况下的排序。(就渐进时间复杂度而言)

首先，注意这里。O(nlogn + mlogm) = O((n+m)log(n+m)

在不失一般性的情况下， n <= m (否则只需切换数组)。

nlogn + mlogm <= (n+m)log(n+m) + (n+m)log(n+m) = 2(n+m)log(n+m)
which is in O((n+m)log(n+m))
(n+m)log(n+m) <= 2n*log(2n) <= 2n*log(2n) + 2m*log(2m) <= 2(nlog(n) +mlog(m) + nlog(2) + mlog(2))
which is in O(nlogn + mlogm)

这意味着，建议的方法，在渐进时间复杂度上，并不比合并数组和排序后再做这个更好。

现在，假设这可以在 O(f(n,m)) 哪儿 f(n) 是在 o((n+m)log(n+m)) (这里用小o符号表示)。这意味着，对于任何给定的数组--你可以把它拆成两个数组，然后运行建议的算法。这本来就和排序是一个矛盾的事实。Omega(nlogn) 问题。