n个矩形的交点 - 恰好是k个矩形相交的区域的最大数量

Posted 2021-04-07

想象一下n轴对齐的矩形（由其位置(x,y)，宽度和高度指定）。矩形以某种方式对齐，使得i-th矩形必然与(i+1)-th相交。例如，让n = 3，然后1必然与2和2与3相交。值得一提的是，这不是传递性的; 3可以与1相交，但不能保证（参见两个有效对齐示例的图）。

我现在正在寻找的是k = 2,...,n矩形正好相交的区域的最大可能数量（这些区域如图所示）。换句话说，我正在寻找n矩形的最坏情况对齐，以便精确地与k矩形相交的区域的数量达到其最大值。理论上，qacxswpoi矩形交叉的最大可能区域数是k（二项式系数）。然而，这个公式几何只对n over k有效，因为它不可能对齐n < 4（和绘制）矩形，以便在最坏的情况下n >= 4区域存在恰好n over k矩形相交的地方。

该图的第一个子图像显示了k的最坏情况对齐。有恰好两个矩形相交的n = 3区域和恰好三个矩形相交的3 over 2 = 3区域。第二子图像还示出了三个矩形的有效对齐，但是这不是最坏情况的对齐，例如，没有正好三个矩形相交的区域。

答案

一个错误的答案;仅因为可能有用或可能无用的方法而被删除。

几何数据 - 矩形相交 - 可以被抽象掉：重要的是以下属性：

属性P：如果矩形i和j相交，则意味着我也与i + 1，...，j-1相交。

如果您对问题的表示形式编码为P，那么您开始使用矩形并不重要。

现在，我们如何记录哪些矩形相交？一种方法是图形，其中节点是矩形和边缘交点，但这不是非常有用，因为上面的属性P在图中不明显。更好的方法是设置以下矩阵：

用矩阵A的第i行表示第i个矩形，该矩阵A具有0s直到条目A（i，i），1s从A（i，i）到A（i，i + m），其中i + m是与矩形i相交的最远矩形的索引。也就是说，A有n行，每个原始矩形一个，它由0和1组成，当且仅当矩形i和j相交时，j> i的A（i，j）为1。对于j

现在，我们有一个正好相交的矩形区域是什么意思？我声称上面的矩阵表示具有正好k 1s的列。为什么？假设您的区域是矩形i + 1，...，i + k的交点。看一下矩阵条目A（i + k，i + k）。它上面的列有1个行，从1 + 1到i + k，否则为0。

上面的矩阵表面看起来与年轻人的偏斜表现相似，因此评论。但是，相似性是肤浅的，因为它不是来自分区。

现在，它仍然是最大化A中具有正好k 1s的列数。我认为最好的一个是每行中恰好有k 1s的矩阵，这将给出原始问题的答案n。答案显然是错误的，所以我在这里遗漏了一些东西。 Aaaaah！

另一答案

如果矩形3 over 3 = 1和Aij相交，则构建一个矩阵，其中单元格1是i，如果不相交，则构建j。该矩阵是对称的。

现在注意到许多0靠近对角线意味着连续对齐矩形之间的交叉点更多。

“最坏”的情况，其中1，相互交叉的矩形的数量是最大的，在矩阵中由k连续的k表示，其间没有1。您可以考虑对角线后面的元素。这样，属性“矩形0与矩形i相交”就完成了。

问题是如何交换行和列来实现此结果。它可能是矩阵带宽减少问题。例如，参见j和this。

您还可以为您的特殊情况生成自己的算法。请注意它可能是NP问题，并且可能存在多种解决方案。