最多具有K个元素的最大连续子数组

Posted 2021-05-04

是否有一种方法可以找到O（N）复杂度最大的连续子数组最多具有K个元素。

或者没有这种可能性。

例如：

A = [4，-2，6，6，4，-2，6]

K = 3

因为中间的6和4等于10，所以该函数应返回10。

P.S。使用O（N * K）很简单，问题是在O（N）中是否可能]

答案

输入：数组X

预处理步骤1

具有相同符号的连续数字加在一起，得到数组Z。这些和中的每一个都与它表示的X子序列的第一个索引和最后一个索引（包括该索引）相关联。这些被符号表示为函数start_index和end_index；实际的实现将使用数据结构来表示数字及其关联的开始和结束索引。

预处理步骤2

从Z的开头和结尾除去负数。

计算

  max_sum := -infinity
  max_range := {.start = naught, .end = naught}

  max_range := {.start = start_index(Z[0]), .end = end_index(Z[0])}
  sum := Z[0]
  for each consecutive pair (neg, pos) in Z[1:]:
    new_sum := sum + neg + pos
    if new_sum >= sum:
      sum := new_sum
    else:
      sum := pos
      max_range := {.start = start_index(pos), .end = end_index(pos)}
    if sum > max_sum:
      max_sum := sum
      max_range := {.start = max_range.start, .end = end_index(pos)}

  Z' := reversed(Z)

  max_range := {.start = start_index(Z'[0]), .end = end_index(Z'[0])}
  sum := Z'[0]
  for each consecutive pair (neg, pos) in Z'[1:]:
    new_sum := sum + neg + pos
    if new_sum >= sum:
      sum := new_sum
    else:
      sum := pos
      max_range := {.start = start_index(pos), .end = end_index(pos)}
    if sum > max_sum:
      max_sum := sum
      max_range := {.start = start_index(pos), .end = max_range.end}

输出

X的最大连续子序列的开始索引和结束索引分别是值max_range.start和max_range.end。该子序列的总和是值max_sum。

复杂度

在预处理步骤1]中，我们迭代输入X一次，并生成长度为O（n）的输出Z。总和与相应子序列的开始和结束的关联可以在O（1）时间以及后续查找中完成。 此步骤的时间复杂度为O（n）。

在预处理步骤2]中，我们不需要遍历数组Z；我们可以简单地更改其开始索引和结束索引（例如Z := Z[1:-1]）。假设Z的长度已知并且Z提供随机访问，则可以在time O（1）

中完成此操作。通常的“数组”概念可以满足这两个条件。

在计算步骤中，我们迭代Z两次，对每次迭代中的每个元素执行恒定时间的运算。回想一下Z的长度为O（n），因此此步骤的总复杂度为O（n）

。

最后，计算后因此，我们获得了结果：

• 最大连续子序列的总和存储在max_sum变量中，因此我们可以在恒定时间中访问它”
• 子序列的开头和结尾也可以在[[恒定时间中以max_range.start和max_range.end的形式访问]子序列的长度可以在[[恒定时间
中从max_range.start和max_range.end中计算。
• 因此，此算法的总时间复杂度为O（n）。