两个嵌套for循环的时间复杂度

Posted 2021-05-05

如果我在正确的轨道上，这个问题是从过去的试卷中修改，只需要建议。

根据给定T(n)的操作次数计算出以下代码段的时间复杂度integer n：

for ( int k = n; k >0; k /= 3 ) {
  for ( int i = 0; i < n; i += 2 ) {
     // constant number C of elementary operations
  }
  for ( int j = 2; j < n; j = (j*j)) {
      // constant number C of elementary operations
  }
}

所以我认为外环将是O(logn)，第一个内环将是O(n)，第二个内环将是O(logn)。只是想知道我是否有一个粗略的想法以及如何从这里前进。

答案

最近有一个问题在几天前有些类似，我提供了复杂性分析的逐步描述：https://stackoverflow.com/a/49093954/926701

• 外环确实是O(log3(n))
• 第一个内环确实是O(n)
• 第二个内环是O(log2(log2(n)))

非正式地，对于第二个循环，j(k)是j循环的索引for所取的值序列，我们可以写：

j(1) = 2, j(2) = j(1)^2 = 4, j(3) = j(2)^2 = 16, ..., j(k) = j(k-1)^2 >= n 
=> j(k) = j(k-1)^2 = j(k-2)^4 = ... = j(1)^(2^k) = 2^(2^k)
=> k = log2(log2(n))

由于内部循环中的操作数独立于外部循环中的操作数，因此我们可以增加复杂性：

T(n) = O(log3(n) * (n + log2(log2(n))))
     = O(n.log3(n))

因为log2(log2(n)) << n为n -> +Inf。