BZOJ 1319 Sgu261Discrete Rootsv (原根+BSGS+EXGCD)

Posted 2020-08-07 konjak魔芋

1319: Sgu261Discrete Roots

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Description

给出三个整数p,k,a,其中p为质数，求出所有满足x^k=a (mod p),0<=x<=p-1的x。

Input

三个整数p,k,a。

Output

第一行一个整数，表示符合条件的x的个数。 第二行开始每行一个数，表示符合条件的x,按从小到大的顺序输出。

Sample Input

11 3 8

Sample Output

1
2

HINT

2<=p<p<=10^9
 2<=k<=100000,0<=a

 

 

【分析】

　　

　　终于发现原根的用处了！原根的幂构成模p的缩系，即用原根的幂可以表示所有模p下的数。假设模p下的一个原根是g，对于方程x^k=a(%prim) 可以写成(g^i)^k三g^j(%p),那么有g^j=三a（mod p），j可以用BSGS求得，那么i*k三j(%phi[p])，这个可以用exgcd求出所有可行的i，答案为g^i。

 

代码如下：

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstdlib>
  3 #include<cstring>
  4 #include<iostream>
  5 #include<algorithm>
  6 #include<queue>
  7 #include<cmath>
  8 using namespace std;
  9 #define LL long long
 10 #define Maxn 1000010
 11 
 12 LL ax,ay;
 13 LL exgcd(LL a,LL b)
 14 {
 15     if(b==0) {ax=1;ay=0;return a;}
 16     LL g=exgcd(b,a%b);
 17     LL xx=ax;
 18     ax=ay;ay=xx-(a/b)*ay;
 19     return g;
 20 }
 21 
 22 LL np[Maxn];
 23 void div(LL x)
 24 {
 25     np[0]=0;
 26     for(LL i=2;i*i<=x;i++) if(x%i==0)
 27     {
 28         np[++np[0]]=i;
 29         while(x%i==0) x/=i;
 30     }
 31     if(x>1) np[++np[0]]=x;
 32 }
 33 
 34 LL qpow(LL x,LL b,LL p)
 35 {
 36     LL xx=x,pp=p,ans=1;
 37     while(b)
 38     {
 39         if(b&1) ans=(ans*xx)%p;
 40         xx=(xx*xx)%p;
 41         b>>=1;
 42     }
 43     return (LL)ans;
 44 }
 45 
 46 LL ffind(LL p)
 47 {
 48     div(p-1);
 49     for(LL i=2;i<p;i++)
 50     {
 51         bool ok=1;
 52         for(LL j=1;j<=np[0];j++)
 53         {
 54             if(qpow(i,(p-1)/np[j],p)==1) {ok=0;break;}
 55         }
 56         if(ok) return i;
 57     }
 58     return -1;
 59 }
 60 
 61 LL cnt;
 62 struct node
 63 {
 64     LL id,val;
 65 }t[Maxn];
 66 
 67 bool cmp(node x,node y) {return (x.val==y.val)?(x.id<y.id):(x.val<y.val);}
 68 
 69 LL t_div(LL x)
 70 {
 71     LL l=0,r=cnt;
 72     while(l<r)
 73     {
 74         LL mid=(l+r)>>1;
 75         if(t[mid].val==x) return t[mid].id;
 76         if(t[mid].val>x) r=mid-1;
 77         else l=mid+1;
 78     }
 79     if(t[l].val==x) return t[l].id;
 80     return -1;
 81 }
 82 
 83 LL BSGS(LL x,LL c,LL p)
 84 {
 85     t[0].id=0;t[0].val=1;
 86     LL sq=(LL)ceil(sqrt((double)p));
 87     for(LL i=1;i<=sq;i++) t[i].id=i,t[i].val=(t[i-1].val*x)%p;
 88     sort(t,t+1+sq,cmp);
 89     cnt=0;
 90     for(LL i=1;i<=sq;i++) if(t[i].val!=t[i-1].val) t[++cnt]=t[i];
 91     
 92     LL bm=qpow(x,sq,p);
 93     bm=qpow(bm,p-2,p);
 94     LL tmp=c;
 95     for(LL i=0;i<=sq;i++)
 96     {
 97         LL now=t_div(tmp);
 98         if(now!=-1) return i*sq+now;
 99         tmp=(tmp*bm)%p;
100     }
101     return -1;
102 }
103 
104 LL op[Maxn];
105 
106 int main()
107 {
108     LL p,k,a;
109     scanf("%lld%lld%lld",&p,&k,&a);
110     LL g=ffind(p);
111     LL C=BSGS(g,a,p);
112     if(C==-1) {printf("0\\n");return 0;}
113     C%=p-1;
114     LL d=exgcd(k,p-1);
115     if(C%d!=0) {printf("0\\n");return 0;}
116     ax*=C/d; 
117     ax=(ax%((p-1)/d)+((p-1)/d))%((p-1)/d);
118     
119     LL ans=qpow(g,ax,p),id=ax,mx=ans,add=qpow(g,(p-1)/d,p);
120     op[0]=0;
121     op[++op[0]]=ans;
122     LL fs=ans;
123     while(add!=1)
124     {
125         id=ax+((p-1)/d);
126         ans=(ans*add)%p;
127         if(ans==fs) break;
128         op[++op[0]]=ans;
129     }
130     sort(op+1,op+1+op[0]);
131     printf("%lld\\n",op[0]);
132     for(LL i=1;i<=op[0];i++) printf("%lld\\n",op[i]);
133     return 0;
134 }

[BZOJ 1319]

 

2016-09-07 13:52:58