如何使用两个独立变量将拟合数据曲线拟合到已知公式？

Posted 2021-03-30

假设我有一个非线性公式，如y =（ax + bx ^ 2 + cx ^ 3）* dx1 ^ 2

其中a，b，c，d是要找到的系数，x和x1是我试图拟合的表格中的数据。

我需要一种优化算法，我可以在代码中编写（例如C或Delphi）来运行迭代以获得合理的系数a，b，c，d。

不想使用Matlab或软件包，因为这必须是一个独立的程序。引用delphi或active X单元很有帮助。如果我可以自由使用它，请不要介意支付软件费用。

答案

你的问题在a，b，c和d中是线性的，即使它在数据中是立方的。因此，我建议将其作为ordinary linear least squares问题制定。允许我将您的x1重命名为z。这个想法是这样的：你有

axi + bxi2 + cxi3 + dzi2 ≈ yi

对于一些i∈{1,2,3 ... n}。您可以将其写为近似矩阵方程：

⎡x₁ x₁² x₁³ z₁²⎤   ⎡a⎤   ⎡y₁⎤
⎢x₂ x₂² x₂³ z₂²⎥   ⎢b⎥   ⎢y₂⎥
⎢x₃ x₃² x₃³ z₃²⎥ ∙ ⎢c⎥ ≈ ⎢y₃⎥
⎢ ⋮ ⋮  ⋮  ⋮ ⎥   ⎣d⎦   ⎢⋮⎥
⎣xₙ xₙ² xₙ³ zₙ²⎦         ⎣yₙ⎦

或者更快

M∙X≈Y

现在你multiply双方与该矩阵M的transpose：

MT M M X X = MT Y Y.

请注意，我从≈更改为=，因为最小二乘解决方案将完全满足此修改方程（由于冗长的原因，我不想进入此处）。这是一个简单的4×4线性方程组。使用常用技术（例如Gaussian elimination）求解X =（a，b，c，d）。

如果n很大，你甚至可以动态计算（MT∙M）和（MT∙Y），而无需存储M本身。这样4×4 + 4 = 20个数字将是输入记录之间需要维护的所有内存。实际上（MT∙M）是symmetric所以10个数字足够用于矩阵，总共14个。