这是一道智障题

Posted 2020-08-07 barriery

这是一道智障题

题目链接：http://acm.xidian.edu.cn/problem.php?id=1180

dp+矩阵快速幂

这道题的n为1e18，故复杂度为O(1)或者O(lgn)。比赛的时候只看出了是dp，感觉复杂度太高，没想到用矩阵来优化，gg。

先来定义状态：dp[i][j][k]表示取第i个珠子颜色为j且末尾有k个连续的珠子的总数，

转移方程：

当k=1时，dp[i][j][k]=dp[i-1][不为j的颜色][所有k];

当k！=1时，dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k-1].

但是这样一来，无论是时间复杂度还是空间复杂度都过大，必须优化。

考虑到不管j取何值，对于相同的i和k来说，dp[i][j][k]一定相同（对称性），所以dp[i][j][0]=dp[i-1][j][所有k]*(m-1)，

如此，可以构造转移矩阵

matrix=[[m-1,m-1,...,m-1,m-1],[1,0,...,0,0],[0,1,...,0,0],...,[0,0,...,1,0]].

初始状态为[1,0,0,...,0,0]^(-1).

（比较神奇的是，编译的时候遇到了编译器错误：internal compiler error: Segmentation fault，人品简直不要太好= =）

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #define N 100
 4 #define M 23333
 5 using namespace std;
 6 typedef long long LL;
 7 LL n,m,k;
 8 struct matrix{
 9     LL mp[N][N];
10     matrix mul(matrix A){
11         matrix temp;
12         for(int i=0;i<k;++i)
13         for(int j=0;j<k;++j){
14             temp.mp[i][j]=0;
15             for(int t=0;t<k;++t){
16                 LL r=(mp[i][t]*A.mp[t][j])%M;
17                 temp.mp[i][j]=(temp.mp[i][j]+r)%M;
18             }
19         }
20         return temp;
21     }
22 };
23 matrix pow(matrix E,matrix A,LL n){
24     while(n){
25         if(n&1)E=E.mul(A);
26         A=A.mul(A);
27         n>>=1;
28     }
29     return E;
30 }
31 matrix e,a;
32 int main(void){
33     for(int i=0;i<N;++i)e.mp[i][i]=1;
34     for(int i=1;i<N;++i)a.mp[i][i-1]=1;
35     while(~scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k)){
36         k--;
37         for(int i=0;i<k;++i)a.mp[0][i]=m-1;
38         matrix temp=pow(e,a,n-1);
39         LL ans=0;
40         for(int i=0;i<k;++i)ans=(ans+temp.mp[i][0])%M;
41         ans=(ans*m)%M;
42         printf("%lld\n",ans);
43     }
44 }