n个节点能产生多少种二叉树

Posted 2020-06-13

当n=0时，h(0)=1；

 

当n=1时，h(1)=1;

 

当n=2时，1个根节点固定，还有n-1=1个节点，可以作为左子树，也可以作为右子树，

即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2；

 

当n=3时，1个根节点固定，还有n-1=2个节点，

即：h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5；

 

当n>=2时，可组成的二叉树数量为 h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种

 

符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。

递归式：

　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

该递推关系的解为：

　　h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)

 

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