UVa10795 A Different Task (新汉诺塔问题)

Posted 2020-08-07

链接：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/34699
分析:考虑编号最大的盘子，如果这个盘子的初始局面和目标局面中都是位于同一根柱子上，那么根本不需要移动它，因为没有其它的盘子编号比它大，说明它所在的这根柱子中它在最底层，也不会影响其它盘子的移动。这样，我们可以在初始局面和目标局面中，找出所在柱子不同的盘子中编号最大的一个，设为k，那么k必须移动。我们可以设想移动k之间的一瞬间柱子上的情况，假设盘子k要从柱子1移到柱子2，由于编号比k大的盘子都放好了不需要移动，而且不会碍事，可以直接无视。编号比k小的盘子不能在柱子1上（每次只能移动1个盘子），也不能在柱子2上（编号大的不能压在编号小的盘子上），因此只能在柱子3上，换句话说，此时柱子1中只有k,柱子2为空，柱子3从上到下依次是盘子1,2,3，...,k-1（忽略比编号大于k的盘子），我们把这个局面称为参考局面。由于盘子的移动是可逆的，根据对称性，我们只需要求出初始局面和目标局面移动成参考局面的步数之和，然后加1（移动盘子k）即可（有点双向广度优先搜索的味道）。总结一下我们需要写一个函数f(P, i, final)，表示已知各个盘子的初始柱子编号数组为P（P[i]代表盘子i的柱子编号）,把盘子（1,2,3，...,i）全部移动到柱子final上所需的步数。则本题的答案就是f(start,k-1,6-start[k]-finish[k])+f(finish,k-1,6-start[k]-finish[k])+1。start[i]和finish[i]是本题输入中盘子i的初始柱子和目标柱子，k为上述必须移动的编号最大的盘子的编号。我们把盘子编号为1,2,3，所以除了柱子x和柱子y之外的那个柱子编号为6-x-y。如何计算f(P[i],i,final)？当P[i]=final时，说明第i个盘子已经正确的放在第final号柱子上不需要移动，接下来只需要移动i-1号盘子到final柱子上，那么f(P,i,final)=f(P,i-1,final)。否则需要先把前i-1个盘子挪到6-P[i]-final这个柱子上做中转，然后把第i个盘子移动柱子final，最后把钱i-1个盘子从中转的柱子移动到目标柱子final上，那么此时移动第i个盘子的一瞬间，需要把第i个盘子移到final（1次）上，然后把前i-1个盘子从6-P[i]-final这根柱子上移到第final根柱子上（根据汉诺塔问题的经典结论这个步骤需要2^(i-1)-1）步，加起来总共需要2^(i-1)步，换句话说，当P[i]不等于final时，f(P,i,final)=f(P,i-1,6-P[i]-final)+2^(i-1),递归边界是i==0。

 1 #include <cstdio>
 2 
 3 typedef long long LL;
 4 const int maxn = 60 + 5;
 5 
 6 int n, start[maxn], finish[maxn];
 7 
 8 LL f(int* P, int i, int final) {
 9     if (i == 0) return 0;
10     if (P[i] == final) return f(P, i - 1, final);
11     return f(P, i - 1, 6 - P[i] - final) + (1LL << (i - 1));
12 }
13 
14 int main() {
15     int kase = 0;
16     while (scanf("%d", &n) == 1 && n) {
17         for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &start[i]);
18         for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &finish[i]);
19         int k = n;
20         while (k >= 1 && start[k] == finish[k]) k--;
21         LL ans = 0;
22         if (k >= 1) {
23             int other = 6 - start[k] - finish[k];
24             ans = f(start, k - 1, other) + f(finish, k - 1, other) + 1;
25         }
26         printf("Case %d: %lld\n", ++kase, ans);
27     }
28     return 0;
29 }