学数答题160904-不等式

Posted 2020-08-06

题160904（14分）若对任意实数$x$都有$\left| 2x-a \right|+\left| 3x-2a \right|\ge {{a}^{2}}$，求$a$的取值范围．

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试题来源：2016年中科大自招

参考答案：$\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$

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解法1：直接分类讨论去绝对值，方法简单，但计算繁琐

当$a=0$时，不等式化为$\left| 2x \right|+\left| 3x \right|\ge 0$，显然成立；

当$a>0$时，有$\dfrac{a}{2}<\dfrac{2a}{3}$，

（i）若$x\le \dfrac{a}{2}$，则不等式化为$\left( a-2x \right)+\left( 2a-3x \right)\ge {{a}^{2}}$恒成立，

即对任意$x\le \dfrac{a}{2}$，${{a}^{2}}-3a\le -5x$恒成立，

$\therefore $${{a}^{2}}-3a\le -\dfrac{5}{2}a$，即${{a}^{2}}-\dfrac{1}{2}a\le 0$，解得$0<a\le \dfrac{1}{2}$；

（ii）若$\dfrac{a}{2}<x\le \dfrac{2a}{3}$，则不等式化为$\left( 2x-a \right)+\left( 2a-3x \right)\ge {{a}^{2}}$恒成立，

即对任意$\dfrac{a}{2}<x\le \dfrac{2a}{3}$，${{a}^{2}}-a\le -x$恒成立，

$\therefore $${{a}^{2}}-a\le -\dfrac{2a}{3}$，即${{a}^{2}}-\dfrac{1}{3}a\le 0$，解得$0<a\le \dfrac{1}{3}$；

（iii）若$x>\dfrac{2a}{3}$，则不等式化为$\left( 2x-a \right)+\left( 3x-2a \right)\ge {{a}^{2}}$恒成立，

即对任意$x>\dfrac{2a}{3}$，${{a}^{2}}+3a\le 5x$恒成立，

$\therefore $${{a}^{2}}+3a\le \dfrac{10a}{3}$，即${{a}^{2}}-\dfrac{1}{3}a\le 0$，解得$0<a\le \dfrac{1}{3}$；

故$a\in (0,\dfrac{1}{3}]$；

同理可得，当$a<0$时，$-a\in (0,\dfrac{1}{3}]$，即$a\in \left[ -\dfrac{1}{3},0 \right]$；

综上，$a$的取值范围是$a\in \left[ -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right]$．

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解法2：利用不等式性质

由$\left| 2x-a \right|+\left| 3x-2a \right|$$=2\left( \left| x-\dfrac{a}{2} \right|+\left| x-\dfrac{2}{3}a \right| \right)+\left| x-\dfrac{2}{3}a \right|$

$\ge 2\left| x-\dfrac{a}{2}+\dfrac{2a}{3}-x \right|+\left| x-\dfrac{2}{3}a \right|=2\left| \dfrac{a}{6} \right|+\left| x-\dfrac{2}{3}a \right|\ge \left| \dfrac{a}{3} \right|$，

当且仅当$x=\dfrac{2}{3}a$时取等，

即${{\left( \left| 2x-a \right|+\left| 3x-2a \right| \right)}_{\min }}=\left| \dfrac{a}{3} \right|$，

$\therefore $$\left| \dfrac{a}{3} \right|\ge {{a}^{2}}$，解得$a\in \left[ -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right]$

综上，$a$的取值范围是$a\in \left[ -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right]$．

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解法3：将题目转化为恒成立问题

取$k\in R$，令$x=ka$，则不等式化为$\left| 2ka-a \right|+\left| 3ka-2a \right|\ge {{\left| a \right|}^{2}}$，

即$\left( \left| 2k-1 \right|+\left| 3k-2 \right| \right)\left| a \right|\ge {{\left| a \right|}^{2}}$，

当$a=0$时，显然成立；

当$a\ne 0$时，原不等式转化为$\left( \left| 2k-1 \right|+\left| 3k-2 \right| \right)\ge \left| a \right|$，对$\forall k\in R$恒成立．

设$g\left( k \right)=$$\left| 2k-1 \right|+\left| 3k-2 \right|=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   5k-3, & k\ge \dfrac{2}{3},  \\   1-k, & \dfrac{1}{2}\le k<\dfrac{2}{3},  \\   -5k+3, & k<\dfrac{1}{2}  \\\end{array} \right.$

则当$k=\dfrac{2}{3}$时，$g\left( k \right)$有最小值$\dfrac{1}{3}$，所以$0<\left| a \right|\le \dfrac{1}{3}$，

即$a\in \left[ -\dfrac{1}{3},0 \right)\bigcup \left( 0,\dfrac{1}{3} \right]$．

综上，$a$的取值范围是$a\in \left[ -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right]$．

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