牛客网一道趣味题

Posted 2020-08-06 寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟

选择题：

现有一完全的P2P共享协议，每次两个节点通讯后都能获取对方已经获取的全部信息。现在有17个节点，要使得系统中每个节点都知道所有节点的文件信息。假设只能通过多次两个对等节点之间通讯的方式进行传输，则最少需要（   ）次通讯。

A.32   B.31   C.30   D.29

答案：C
大神给出的分析过程如下（过程很烧脑呵呵)

假设有n个节点，直观的按照1-2-···-(n-1)-n传播顺序，最后n-1和n获得了所有节点的信息，然后取其中任一节点与1、2、···、n-2这些节点交换信息，即可让所有节点获得所有信息，这样通讯次数=n-1+n-2=2n-3；

如果分成两个组呢，假设两个组的节点个数分别为n1和n2，则每个组首先需要按序传播信息N1=n1-1+n2-1，然后第一组最后两个节点和第二组的最后两个节点就获得了各自组的所有信息，这四个节点两两交换信息，需要N2=2次，则这四个节点获得了两个组所有节点信息，然后取任一节点与每个组剩下的节点（分别是n1-2,n2-2）交换信息N3=n1-2+n2-2，则通讯任务完成，总共通讯次数N=N1+N2+N3=2n1-3+2n2-3+2=2(n1+n2)-4=2n-4;

如果分成三个组，同样的分析N=2n1-3+2n2-3+2n3-3+6=2n-3，其中6表示三个组的最后两个节点交换信息需要6次；

那如果分的组数更多呢，假设分为g组(g>=4)，同上分析N=2n-3g+M，其中M表示g个组的最后两个节点交换信息所需要的最少次数。假设把这些点的通讯按照两个组的模式来处理，则M=2*(2g-4)，N=2n+g-8>=2n-4。假设按三个组的模式来处理，则M=2*(2g-3)，N=2n+g-6>=2n-2，可见它们都是大于等于2n-4，而且随着g的变大通讯次数也会增多。

所以最优的情况就是在分成两个组或者四个组的时候取到，最优情况下通讯次数为2n-4.