CodeForces 572C. Lengthening Sticks(不定方程的根的方案个数)

Posted 2020-12-17

题意:给你三条边\(x，y，z\)，你可以给三条边各自增加任意数值，但是增加的总和最多为\(w\)。求可以组成三角形的方案数。

分析:设\(x y z\)的增量为p1，p2，p3，假定\(p1 + p2 + p3 = t，t\in{[0, w]}\)，题目中要求的增量可以为0，如果按平常来说，对于形如\(p1 + p2 + p3 = t，p1, p2, p3 > 0\)的方程，这是不定方程的正整数根的方案个数，我们的求法是\(隔板法\)，不定方程的正整数根的方案个数为\(C_{t - 1}^{2}\)，然后如果不定方程的根是>=0的话，怎么办？我们可以做一个映射，\(p1 + 1 + p2 + 1 + p3 + 1 = t + 3\)，令\(q1 = p1 + 1, q2 = p2 + 1, q3 = p3 + 1\)，那么\(q1 + q2 + q3 = t + 3\)，那么总的方案数为\(\sum\limits_{t = 0}^{t = w}C_{t + 2}^{2}\)。然后我们开始考虑不合法的方案，即\(x + q1 >= y + q2 + z + q3\)的方案数，我们可以得到\(q1 >= y + z + q2 + q3 - x\)，因为\(q1 + q2 + q3 = t\)，我们令\(q2 + q3 = u，q1 = t - u\)，那么可以得到\(t - u >= y + z - x + u\)，令\(y + z - x = c\)，\(c\)是一个常数，\(t - u >= c + u\)，那么可以得到\(u <= \frac{(t - c)}{2}\)，那么这种方案数有多少呢，即q2和q3的取法，我们依然可以使用隔板法，前面的球个数有p1个，后面有u = p2 + p3个，我们来分割u，可以发现有\(\frac{(u + 2) * (u + 1)}{2}\)种方案数，我们依次减掉x，y，z作为最长边的方案数即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;
using LL = long long;

LL solve(int x, int y, int z, int t)
{
	LL c = t - (y + z - x);
	if (c < 0) return 0;
	else
	{
		c = c / 2;
	}
	if (c > t) c = t;
	return (LL)(c + 2) * (c + 1) / 2;
}

int main()
{
	int x, y, z, w;
	cin >> x >> y >> z >> w;

	LL res = 0;
	for (int i = 0; i <= w; ++i)
	{
		res += (LL)(i + 2) * (i + 1) / 2;
	}

	for (int i = 0; i <= w; ++i)
	{
		res -= solve(x, y, z, i);
		res -= solve(y, x, z, i);
		res -= solve(z, x, y, i);
	}

	cout << res << endl;

	return 0;
}