20145327寒假第二周学习总结

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了20145327寒假第二周学习总结相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

集合论 ——集合代数、关系、函数、集合的基数

集合的元素具有的性质:无序性、相异性、确定性、任意性

集合与元素的关系:∈、∉  集合与集合的关系:⊆, =, ?,≠

空集是任何集合的子集, ∅是惟一的

幂集:P(A)={x | x包含于A}   计数:如果|A|=n,则|P(A)|=2*n.

集合的运算:并 A∪B = {x | x∈A ∨ x∈B} ; 交 A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B}; 相对补 A-B = {x | x∈A ∧ x∉B} ; 对称差 A异或B = (A-B)∪(B-A) ; 绝对补 ~A = E-A

容斥原理:|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|      

              |A∪B∪C| =|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

集合算律:

 

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有序对:由两个元素x和y,按照一定的顺序组成的二元组称为有序对,记作<x,y>.

<x,y>≠<y,x> (当x≠y时)

笛卡尔积:设A,B为集合,A与B的笛卡儿积记作A×B,且 A×B = {<x,y>| x∈A∧y∈B}.

笛卡尔积的性质:

(1)不适合交换律 A×B ≠ B×A (A≠B, A≠∅, B≠∅)

(2)不适合结合律 (A×B)×C ≠ A×(B×C) (A≠∅, B≠∅, C≠∅)

(3)对于并或交运算满足分配律 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) ; (B∪C)×A = (B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) ;(B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)

(4)若A或B中有一个为空集,则A×B就是空集. A×∅ = ∅×B = ∅

(5)若 |A| = m, |B| = n, 则 |A×B| = mn

二元关系:如果一个集合满足以下条件之一: (1)集合非空, 且它的元素都是有序对; (2)集合是空集。 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系,记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy;如果<x,y>∉R, 则记作x R/ y

|A|=n, |A×A|=n*2, A×A的子集有2*n*2 个. 所以A上有 2*n*2个不同的二元关系.

定义域domR = {x | 彐y (<x,y>∈R) } ;值域ranR = {y | 彐x (<x,y>属于R) };域 fldR = domR ∪ ranR

逆:   R*-1 = {<y,x> | <x,y>∈R}

合成:R°S = |<x,z> | 彐 y (<x,y>∈R∩<y,z>∈S) }

(F*-1)*-1=F ; domF*-1= ranF; ranF*-1= domF

(F°G)°H = F°(G°H); (F°G)°1 = G*-1°F*-1

A上关系的幂运算:设R为A上的关系, n为自然数, 则R的n次幂定义为: (1) R°={<x,x>|x∈A}=IA (2) R*n+1=R*n°R

设R是A上的关系, m, n∈N, 则 (1)Rm°Rn = R*m+n (2)(R*m)*n = R*mn

设R为A上的关系,  (1)若∀x(x∈A→<x,x>∈R), 则称R在A上是自反的. (2)若∀x(x∈A→<x,x>∉R), 则称R在A上是反自反的.

自反关系:全域关系EA, 恒等关系IA, 小于等于关系LA, 整除关系DA

反自反关系:实数集上的小于关系、幂集上的真包含关系.

设R为A上的关系, (1)若∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称R为A上的对称关系.                          (2)若∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 则称R为A上的反对                                称关系.

传递性:设R为A上的关系, 若 ∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R), 则称R是A上的传递关系.

传递关系:A上的全域关系EA;恒等关系IA和空关系∅; 小于等于和小于关系;整除关系;包含与真包含关系。

关系性质的三种等价条件:技术分享

 

闭包:设R是非空集合A上的关系, R的自反(对称或传递)闭包是A上的关系R‘, 使得R‘满足以下条件: (1)R‘是自反的(对称的或传递的) (2)R⊆R‘ (3)对A上任何包含R的自反(对称或传递)关系R‘‘ 有R‘⊆R‘‘.

一般将R的自反闭包记作r(R), 对称闭包记作s(R), 传递闭包记作t(R).

设R为A上的关系, 则有(1)r(R)=R∪R° (2)s(R)=R∪R*-1 (3)t(R)=R∪R2∪R3∪…

等价类:设R为非空集合A上的等价关系, ∀x∈A,令 [x]R = {y | y∈A∧xRy} 称[x]R为x关于R的等价类, 简称为x的等价类, 简记为[x].

等价类的性质:设R是非空集合A上的等价关系, 则 (1)∀x∈A, [x]是A的非空子集. (2)∀x,y∈A, 如果xRy, 则 [x] = [y]. (3)∀x,y∈A, 如果x R/  y, 则 [x]与[y]不交. (4)∪{[x] | x∈A}=A

商集:设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = {[x]R | x∈A}

偏序关系:非空集合A上的自反、反对称和传递的关系,记作?. 设?为偏序关系, 如果<x, y>∈?, 则记作x?y, 读作x“小于或等于”y.

设<A,?>为偏序集, B?A, y∈B. (1)若∀x(x∈B→y?x)成立, 则称y为B的最小元.

                                          (2)若∀x(x∈B→x?y)成立, 则称y为B的最大元.

                                          (3)若∀x(x∈B∧x?y→x=y)成立, 则称y为B的极小元.                                                 (4)若∀x(x∈B∧y?x→x=y)成立, 则称y为B的极大元.

设<A, ?>为偏序集, B⊆A, y∈A. (1)若∀x(x∈B→x?y)成立, 则称y为B的上界.

                                           (2)若∀x(x∈B→y?x)成立, 则称y为B的下界.

                                           (3)令C={y| y为B的上界}, 则称C的最小元为B的最小上界                                                   或上确界.                              

                                            (4)令D={y| y为B的下界}, 则称D的最大元为B的最大下界                                                   或下确界.

设F为二元关系, 若∀x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立, 则称F为函数 。

设f:A→B, (1)若ranf=B, 则称f:A→B是满射的。

                (2)若?y∈ranf都存在唯一的x∈A使得 f(x)=y, 则称f:A→B是单射的。

                (3)若f:A→B既是满射又是单射的, 则称 f:A→B是双射的。

 

存在的问题: 不会画关系矩阵图、不太能准确写出二元关系的集合表达式、函数的单射满射双射不太理解...

 

以上是关于20145327寒假第二周学习总结的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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