扩展欧几里德算法

Posted 2020-06-13

gcd算法：

通过辗转相除求最大公约数

#include<stdio.h>
int gcd(int a,int b){
    return a%b==0?b:gcd(b,a%b);
}
int main(){
    printf("%d",gcd(15,18));
    return 0;
}

扩展gcd算法：

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，若gcd(a,b)表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对x，y ，使得 ax+by = gcd(a,b)。

设：

ax₁+by₁=gcd(a,b),

bx₂+a%by₂=gcd(b,a%b)

因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以

  ax₁+by₁

=bx₂+a%by₂

=bx₂+(a-a/b*b)y₂

=ay₂+(x₂-a/b*y₂)b

所以x₁=y₂,y₁=x₂-a/b*y₂

且if(b==0)不定方程 的一组解为x=1,y=0

因此扩展gcd代码为：

#include<stdio.h>
#define ll long long
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;
    return r;
}
int main(){
    ll a,b,ans,x,y;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    ans=exgcd(a,b,x,y);
    printf("(%lld) * (%lld)+(%lld) * (%lld)=%lld",a,x,b,y,ans);
    return 0;
}