leetcode题解之34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

Posted 2020-12-12 刷题之路1

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。

如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

示例 1:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出: [3,4]

示例 2:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出: [-1,-1]

方法 1：线性扫描

想法

对 target 检查每一个下标，一定能得到正确答案。

算法

首先，我们对 nums 数组从左到右做线性遍历，当遇到 target 时中止。如果我们没有中止过，那么 target 不存在，我们可以返回“错误代码” [-1, -1] 。如果我们找到了有效的左端点坐标，我们可以坐第二遍线性扫描，但这次从右往左进行。这一次，第一个遇到的 target 将是最右边的一个（因为最左边的一个存在，所以一定会有一个最右边的 target）。我们接下来只需要返回这两个坐标。

• Java
• Python

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int[] targetRange = {-1, -1};
    <span class="hljs-comment">// find the index of the leftmost appearance of `target`.</span>
    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">int</span> i = <span class="hljs-number">0</span>; i &lt; nums.length; i++) {
        <span class="hljs-keyword">if</span> (nums[i] == target) {
            targetRange[<span class="hljs-number">0</span>] = i;
            <span class="hljs-keyword">break</span>;
        }
    }

    <span class="hljs-comment">// if the last loop did not find any index, then there is no valid range</span>
    <span class="hljs-comment">// and we return [-1, -1].</span>
    <span class="hljs-keyword">if</span> (targetRange[<span class="hljs-number">0</span>] == -<span class="hljs-number">1</span>) {
        <span class="hljs-keyword">return</span> targetRange;
    }

    <span class="hljs-comment">// find the index of the rightmost appearance of `target` (by reverse</span>
    <span class="hljs-comment">// iteration). it is guaranteed to appear.</span>
    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">int</span> j = nums.length-<span class="hljs-number">1</span>; j &gt;= <span class="hljs-number">0</span>; j--) {
        <span class="hljs-keyword">if</span> (nums[j] == target) {
            targetRange[<span class="hljs-number">1</span>] = j;
            <span class="hljs-keyword">break</span>;
        }
    }

    <span class="hljs-keyword">return</span> targetRange;
}

}

class Solution:

def searchRange(self, nums, target):

# find the index of the leftmost appearance of target. if it does not

# appear, return [-1, -1] early.

for i in range(len(nums)):

if nums[i] == target:

left_idx = i

break

else:

return [-1, -1]

    <span class="hljs-comment"># find the index of the rightmost appearance of `target` (by reverse</span>
    <span class="hljs-comment"># iteration). it is guaranteed to appear.</span>
    <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(len(nums)<span class="hljs-number">-1</span>, <span class="hljs-number">-1</span>, <span class="hljs-number">-1</span>):
        <span class="hljs-keyword">if</span> nums[j] == target:
            right_idx = j
            <span class="hljs-keyword">break</span>

    <span class="hljs-keyword">return</span> [left_idx, right_idx]

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(n)$ 。

  这个暴力解法检测了num 数组中每个元素恰好两次，所以总运行时间是线性的。

• 空间复杂度： $O(1)$ 。

  线性扫描方法使用了固定大小的数组和几个整数，所以它的空间大小为常数级别的。

方法 2：二分查找

想法

因为数组已经排过序了，我们可以使用二分查找的方法去定位左右下标。

算法

总体算法工作过程与线性扫描方法类似，除了找最左和最右下标的方法。这里我们仅仅做几个微小的调整，用这种修改过的二分查找方法去搜索这个排过序的数组。首先，为了找到最左边（或者最右边）包含 target 的下标（而不是找到的话就返回 true ），所以算法在我们找到一个 target 后不能马上停止。我们需要继续搜索，直到 lo == hi 且它们在某个 target 值处下标相同。

另一个改变是 left 参数的引入，它是一个 boolean 类型的变量，指示我们在遇到 target == nums[mid] 时应该做什么。如果 left 为 true ，那么我们递归查询左区间，否则递归右区间。考虑如果我们在下标为 i 处遇到了 target ，最左边的 target 一定不会出现在下标大于 i 的位置，所以我们永远不需要考虑右子区间。当求最右下标时，道理同样适用。

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• Java
• Python

class Solution {
    // returns leftmost (or rightmost) index at which `target` should be
    // inserted in sorted array `nums` via binary search.
    private int extremeInsertionIndex(int[] nums, int target, boolean left) {
        int lo = 0;
        int hi = nums.length;
    <span class="hljs-keyword">while</span> (lo &lt; hi) {
        <span class="hljs-keyword">int</span> mid = (lo + hi) / <span class="hljs-number">2</span>;
        <span class="hljs-keyword">if</span> (nums[mid] &gt; target || (left &amp;&amp; target == nums[mid])) {
            hi = mid;
        }
        <span class="hljs-keyword">else</span> {
            lo = mid+<span class="hljs-number">1</span>;
        }
    }

    <span class="hljs-keyword">return</span> lo;
}

<span class="hljs-keyword">public</span> <span class="hljs-keyword">int</span>[] searchRange(<span class="hljs-keyword">int</span>[] nums, <span class="hljs-keyword">int</span> target) {
    <span class="hljs-keyword">int</span>[] targetRange = {-<span class="hljs-number">1</span>, -<span class="hljs-number">1</span>};

    <span class="hljs-keyword">int</span> leftIdx = extremeInsertionIndex(nums, target, <span class="hljs-keyword">true</span>);

    <span class="hljs-comment">// assert that `leftIdx` is within the array bounds and that `target`</span>
    <span class="hljs-comment">// is actually in `nums`.</span>
    <span class="hljs-keyword">if</span> (leftIdx == nums.length || nums[leftIdx] != target) {
        <span class="hljs-keyword">return</span> targetRange;
    }

    targetRange[<span class="hljs-number">0</span>] = leftIdx;
    targetRange[<span class="hljs-number">1</span>] = extremeInsertionIndex(nums, target, <span class="hljs-keyword">false</span>)-<span class="hljs-number">1</span>;

    <span class="hljs-keyword">return</span> targetRange;
}

}

class Solution:

# returns leftmost (or rightmost) index at which target should be inserted in sorted

# array nums via binary search.

def extreme_insertion_index(self, nums, target, left):

lo = 0

hi = len(nums)

    <span class="hljs-keyword">while</span> lo &lt; hi:
        mid = (lo + hi) // <span class="hljs-number">2</span>
        <span class="hljs-keyword">if</span> nums[mid] &gt; target <span class="hljs-keyword">or</span> (left <span class="hljs-keyword">and</span> target == nums[mid]):
            hi = mid
        <span class="hljs-keyword">else</span>:
            lo = mid+<span class="hljs-number">1</span>

    <span class="hljs-keyword">return</span> lo


<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">searchRange</span><span class="hljs-params">(self, nums, target)</span>:</span>
    left_idx = self.extreme_insertion_index(nums, target, <span class="hljs-literal">True</span>)

    <span class="hljs-comment"># assert that `left_idx` is within the array bounds and that `target`</span>
    <span class="hljs-comment"># is actually in `nums`.</span>
    <span class="hljs-keyword">if</span> left_idx == len(nums) <span class="hljs-keyword">or</span> nums[left_idx] != target:
        <span class="hljs-keyword">return</span> [<span class="hljs-number">-1</span>, <span class="hljs-number">-1</span>]

    <span class="hljs-keyword">return</span> [left_idx, self.extreme_insertion_index(nums, target, <span class="hljs-literal">False</span>)<span class="hljs-number">-1</span>]

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(log_{2}n)$ 。

  由于二分查找每次将搜索区间大约划分为两等分，所以至多有 $lceil log_{2}n ceil$ 次迭代。二分查找的过程被调用了两次，所以总的时间复杂度是对数级别的。

• 空间复杂度：$O(1)$ 。

  所有工作都是原地进行的，所以总的内存空间是常数级别的。

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