二分查找的平均查找长度详解

Posted 2020-08-05 寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟

来源：http://blog.csdn.net/turne/article/details/50488378

看数据结构书的时候碰上的内容，我自己将它化成关于级数的题，然后自己算的过程，基本就是等比级数和等差级数的混合内容。

满二叉树来分析折半查找的平均长度

 

h=层高 n=节点数

[]为计算过程的式

 

先算总查找次数

1*1+2*2+3*4+4*8...(h-1)*2^(h-2)+h*2^(h-1)  ………………[1]

 

[1]*2:

 

1*2+2*4+3*8+4*16...(h-1)*2^(h-1)+h*2^h  ……………………[2]

 

[2]-[1]:

[1]*2-[1]=[3]:

[1]=[3]:

 

-1*1-1*2-1*4-1*8-1*16...-2^(h-1)+h*2^h  ……………………… [3]

 

[4]+h*2^h=[3]…………………………………………………………………………[3.1]

 

-1*1-1*2-1*4-1*8-1*16...-2^(h-1) ……………………………………… [4]

 

[4]*2-[4]=[5]=[4]

 

-2^h+1  …………………………………………………………………………………… [5]

 

因为[5]=[4]，所以把[5]代入[3.1]可以得到下面的结果

[3]=[5]+h*2^h  =  -2^h+1+h*2^h=(h-1)*2^h+1

 

由于 (n+1=2^h)，所以有

 

[3]=(n+1)log(n+1)-(n+1)+1

    =(n+1)log(n+1)-n

 

最后，来求查找次数平均数

[3] /n = ((n+1)log(n+1)-n)/n

         

最终，平均查找长度约等于log(n+1)-1

 

上面的所有对数log的底数皆为2.