hdu 2586 + hdu 4123(RMQ算法与LCA）

Posted 2020-08-05 十目

转自：http://blog.csdn.net/liang5630/article/details/7917702

rmq算法可用来求区间最值，区间最值差，树上最近公共祖先，时间复杂度O（nlogn）

1. 概述

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然，该问题也可以用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，这里我们暂不介绍。

 

2.RMQ算法

对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。

本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

 

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

模版：

 1 void init(int n)
 2 {
 3     // f[i,j]表示[i,i+2^j-1]区间最大值
 4     // f[i,j]=max(d[i,j-1], d[i+2^(j-1),j-1])
 5     for (int i = 1; i <= n; ++i) f2[i][0] = f1[i][0] = ans[i];
 6     for (int j = 1; (1<<j) <= n; ++j)
 7         for (int i = 1; i+(1<<j)-1 <= n; ++i) {
 8             f1[i][j] = max(f1[i][j-1], f1[i+(1<<j-1)][j-1]);
 9             f2[i][j] = min(f2[i][j-1], f2[i+(1<<j-1)][j-1]);
10         }
11 }

 

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

这里我们需要注意的是循环的顺序，我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？可以是i在外，j在内吗？

答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是：先更新所有长度为F[i,0]即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。

而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素（A[0],A[1],....A[7]）的最值，这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这样的方法肯定是错误的。

 为了避免这样的错误，一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。

（二）然后是查询。

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

在这里我们也需要注意一个地方，就是<<运算符和+-运算符的优先级。

比如这个表达式：5 - 1 << 2是多少？

 答案是：4 * 2 * 2 = 16。所以我们要写成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。

3.LCA:也就是对树排一个DFS序，在pos[u],和pos[v]区间内最小值一定是其最近公共祖先
HDU2586：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <vector>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <iostream>
 6 #include <map>
 7 #include <queue>
 8 #include <stack>
 9 #include <cmath>
10 //#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
11 using namespace std;
12 #define PF(x) cout << "debug: " << x << " ";
13 #define EL cout << endl;
14 #define PC(x) puts(x);
15 typedef long long ll;
16 #define CLR(x, v) sizeof (x, v, sizeof(x))
17 using namespace std;
18 const int INF = 0x5f5f5f5f;
19 const int  N= 2e5 + 10;
20 const int mod=1e9 + 7;
21 const int maxn = 4e4 + 10;
22 int t,n,m,ans[maxn],cnt,f[maxn][20];
23 vector<pair <int,int> >gra[maxn];
24 void dfs(int u,int fa){
25 
26     for(int i = 0;i < gra[u].size();i++){
27         int v = gra[u][i].first;
28         if(v == fa) continue;
29          ans[v] = ans[u] + gra[u][i].second;
30          dfs(v,u);
31 }
32 }
33 void init(){
34     for(int i = 1;i <= n;i++)  f[i][0] = ans[i];
35     for(int j = 1;(1<<j) <= n;j++)
36         for(int i = 1;i + (1<<j) - 1 <= n;i++)
37             f[i][j] = min(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
38 }
39 int query(int l, int r)
40 {
41     int k = 0;
42     while (1<<k+1 <= r-l+1) ++k;
43     return min(f[l][k], f[r-(1<<k)+1][k]);
44 }
45 int main()
46 {
47   // freopen("in.txt","r",stdin);
48     cin>>t;
49     while(t--){
50         scanf("%d%d",&n,&m);
51        // cout<<n<<" "<<m<<endl;
52         int a,b,c;
53         for(int i = 1;i <= n;i++)
54             gra[i].clear();
55         for(int i = 1;i < n;i++){
56             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
57           // cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<endl;
58             gra[a].push_back(make_pair(b,c));
59             gra[b].push_back(make_pair(a,c));
60         }
61         cnt = 0;
62         dfs(1,-1);
63         init();
64         //cout<<m<<endl;
65         while(m--){
66             scanf("%d%d",&a,&b);
67 
68             //cout<<a<<" "<<b<<endl;
69             if(a > b) swap(a,b);
70             int num = query(a,b);
71             cout<<ans[a] - num + ans[b] - num<<endl;
72 
73         }
74     }
75     return 0;
76 }

HDU4123：

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstring>
  3 #include <vector>
  4 #include <algorithm>
  5 #include <iostream>
  6 #include <map>
  7 #include <queue>
  8 #include <stack>
  9 #include <cmath>
 10 //#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
 11 using namespace std;
 12 #define PF(x) cout << "debug: " << x << " ";
 13 #define EL cout << endl;
 14 #define PC(x) puts(x);
 15 typedef long long ll;
 16 #define CLR(x, v) sizeof (x, v, sizeof(x))
 17 using namespace std;
 18 const int INF = 0x5f5f5f5f;
 19 const int  N= 2e5 + 10;
 20 const int mod=1e9 + 7;
 21 const int maxn = 5e4 + 10;
 22 int n,m,dp1[maxn],dp2[maxn],ans[maxn],maxp[maxn];
 23 vector< pair<int,int> > gra[maxn];
 24 void dfs1(int u,int fa){
 25     dp1[u] = dp2[u] = 0;
 26     for(int i = 0;i < gra[u].size();i++){
 27         int v = gra[u][i].first;
 28         if(v == fa) continue;
 29         dfs1(v,u);
 30         if(dp1[u] < dp1[v] + gra[u][i].second){
 31             dp1[u] = dp1[v] + gra[u][i].second;
 32             maxp[u] = v;
 33         }
 34     }
 35 }
 36 void dfs2(int u,int fa){
 37     for(int i = 0;i < gra[u].size();i++){
 38         int v = gra[u][i].first;
 39         if(v == fa) continue;
 40         if(v != maxp[u]){
 41             dp2[v] = max(dp2[v],dp1[u] + gra[u][i].second);
 42             dp2[v] = max(dp2[v],dp2[u] + gra[u][i].second);
 43         }
 44         else{
 45             for(int j = 0;j < gra[u].size();j++){
 46                 int v1 = gra[u][j].first;
 47                 if(v1 == fa||v1 == v||v1 == maxp[u]) continue;
 48                 dp2[v] = max(dp2[v],dp1[v1] + gra[u][i].second + gra[u][j].second);
 49             }
 50             dp2[v] = max(dp2[v],dp2[u] + gra[u][i].second);
 51         }
 52         dfs2(v, u);///
 53     }
 54 
 55 }
 56 int f1[N][20], f2[N][20];
 57 void init(int n)
 58 {
 59     // f[i,j]表示[i,i+2^j-1]区间最大值
 60     // f[i,j]=max(d[i,j-1], d[i+2^(j-1),j-1])
 61     for (int i = 1; i <= n; ++i) f2[i][0] = f1[i][0] = ans[i];
 62     for (int j = 1; (1<<j) <= n; ++j)
 63         for (int i = 1; i+j-1 <= n; ++i) {
 64             f1[i][j] = max(f1[i][j-1], f1[i+(1<<j-1)][j-1]);
 65             f2[i][j] = min(f2[i][j-1], f2[i+(1<<j-1)][j-1]);
 66         }
 67 }
 68 
 69 int query(int l, int r)
 70 {
 71     int k = 0;
 72     while (1<<k+1 <= r-l+1) ++k;
 73     return max(f1[l][k], f1[r-(1<<k)+1][k]) - min(f2[l][k], f2[r-(1<<k)+1][k]);
 74 }
 75 
 76 int main()
 77 {
 78    // freopen("in.txt","r",stdin);
 79    while(scanf("%d%d",&n,&m)){
 80         if(n == 0&&n == m)
 81             break;
 82         int x,y,z;
 83         for(int i = 1;i <= n;i++)
 84             gra[i].clear();
 85         for(int i = 1;i < n;i++){
 86             scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
 87             gra[x].push_back(make_pair(y,z));
 88             gra[y].push_back(make_pair(x,z));
 89         }
 90         dfs1(1,-1);
 91         dfs2(1,-1);
 92         for(int i = 1;i <= n;i++)
 93             ans[i] = max(dp1[i],dp2[i]);
 94 
 95         //for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d:%d %d %d\n", i, dp1[i], dp2[i], ans[i]);
 96 
 97         init(n);
 98         while (m--) {
 99             int q; scanf("%d", &q);
100             int r = 1;
101             int res = 0;
102             for (int i = 1; i <= n; ++i) {
103                 while (r <= n && query(i, r) <= q) r++;
104                 res = max(res, r-i);
105             }
106             printf("%d\n", res);
107         }
108    }
109     return 0;
110 }