数学奥林匹克问题解答：2017高联基础班“指数与对数”作业题-2

Posted 2020-08-05 赵胤数学课

 

课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-1（赵胤授课）

 

1、化简: $${(27^{1\\over \\log_23} + 5^{\\log_{25}49})(81^{1\\over \\log_49} - 8^{\\log_49})\\over 3+5^{1\\over \\log_{16}25} \\cdot 5^{\\log_53}}.$$ 解答:

原式 = ${\\left(27^{\\log_32} + 5^{\\log_57}\\right)\\cdot\\left(81^{\\log_94} - 8^{\\log_23}\\right) \\over 3 + 5^{\\log_{25}16}\\cdot 5^{\\log_53}} = {(8 + 7)\\cdot(16 - 27)\\over 3 + 4\\cdot 3}= -11$.

 

2、解方程 $\\log_5(4^x + 144) - 4\\log_52 = 1 + \\log_5(2^{x - 2} + 1)$.

解答: $$\\because \\log_5\\left(4^x + 144\\right) - \\log_516 = 1 + \\log_5\\left(2^{x - 2} + 1\\right)\\Rightarrow \\log_5{4^x + 144 \\over 16} = \\log_5\\left[5\\cdot\\left(2^{x - 2} + 1\\right)\\right]$$ $$\\Rightarrow {4^x + 144 \\over 16} = 5\\cdot\\left(2^{x - 2} + 1\\right) \\Rightarrow 2^{2x} + 144 = 80\\cdot\\left({1\\over4}\\cdot 2^x + 1\\right)$$ $$\\Rightarrow \\left(2^x\\right)^2 - 20\\cdot 2^x + 64 = 0 \\Rightarrow 2^x = 4,\\ 16$$ $$\\therefore x_1 = 2,\\ x_2 = 4.$$ 经检验, $x_1 = 2$, $x_2 = 4$ 是原方程的解.

 

3、设 $d > 0$, $d \\ne 1$, $y = d^{1\\over 1-\\log_dx}$, $z = d^{1\\over 1-\\log_dy}$, 求证: $$x = d^{1\\over 1 - \\log_dz}.$$ 解答: $$\\because y = d^{1\\over 1 - \\log_dx},\\ z = d^{1\\over 1 - \\log_dy} \\Rightarrow \\log_dy = {1\\over 1-\\log_dx},$$ $$\\log_dz = {1\\over 1-\\log_dy} \\Rightarrow \\log_dz = {1\\over 1- {1\\over 1- \\log_dx}} = {1 - \\log_dx \\over -\\log_dx} \\Rightarrow \\left(1 - \\log_dz\\right)\\cdot\\log_dx = 1,$$ $$\\Rightarrow \\log_dx = {1\\over 1 - \\log_dz} \\Rightarrow x = d^{1\\over 1 - \\log_dz}.$$

 

4、已知 $a, b, c$ 为不等于1的正数, 且 $abc \\ne 1$, $\\log_a10 + \\log_b10 + \\log_c10 = \\log_{abc}10$. 求证: $a, b, c$ 中有两个数之积为1.

解答: $$\\because {1\\over \\lg a} + {1\\over \\lg b} + {1\\over \\lg c} = {1\\over \\lg(abc)} = {1\\over \\lg a + \\lg b + \\lg c}$$ $$\\Rightarrow {\\lg a + \\lg b \\over \\lg a \\cdot \\lg b} + {\\lg a + \\lg b \\over \\left(\\lg a + \\lg b + \\lg c\\right)\\cdot \\lg c} = 0$$ $$\\Rightarrow \\left(\\lg a + \\lg b\\right)\\cdot {\\left(\\lg a + \\lg b + \\lg c\\right)\\lg c + \\lg a \\cdot \\lg b \\over \\lg a \\cdot \\lg b \\cdot \\lg c \\cdot \\left(\\lg a + \\lg b + \\lg c\\right)} = 0$$ $$\\Rightarrow {\\left(\\lg a + \\lg b\\right)\\cdot\\left(\\lg b + \\lg c\\right)\\cdot\\left(\\lg c + \\lg a\\right)\\over \\lg a \\cdot \\lg b \\cdot \\lg c\\cdot\\left(\\lg a + \\lg b + \\lg c\\right)} = 0$$ $$\\Rightarrow \\left(\\lg a + \\lg b\\right)\\cdot\\left(\\lg b + \\lg c\\right)\\cdot\\left(\\lg c + \\lg a\\right) = 0$$ $$\\Rightarrow \\lg ab \\cdot \\lg bc \\cdot \\lg ca = 0.$$ 即 $ab = 1$ 或 $bc = 1$ 或 $ca = 1$.

 

5、$x$ 是五位数, $p, q$ 是正整数, 且 $p > q$, 若 $\\lg x^p$ 和 $\\lg x^q$ 的尾数相等, 求 $x$ 的值.

解答:

令 $n = \\lg x^p - \\lg x^q = \\lg x^{p - q}\\in \\mathbf{N^{*}}$.

$\\Rightarrow x^{p - q} = 10^n = 2^n \\cdot 5^n$.

令 $x = 2^a\\cdot 2^b$, $a, b\\in\\mathbf{N^*}$, $$\\Rightarrow 2^{a\\cdot(p - q)}\\cdot 5^{b\\cdot(p - q)} = 2^n \\cdot 5^n \\Rightarrow a\\cdot(p - q) = b\\cdot(p - q) = n$$ $$\\Rightarrow a = b \\Rightarrow x = 10^a \\Rightarrow a = 4 \\Rightarrow x = 10000.$$

 

6、设 $p, q$ 是整数, 且 $1 < q < p < 10$, $\\displaystyle{q\\over p}$ 是既约分数, 若 $\\lg\\displaystyle{1\\over q}$ 的尾数大于 $\\lg p^2$ 的尾数, 求 $\\displaystyle{q\\over p}$.

解答: $$\\because 1 < p < 10 \\Rightarrow 0 < \\lg p < 1$$ $$\\because 1 < q < 10 \\Rightarrow {1\\over 10} < {1\\over q} < 1 \\Rightarrow -1 < \\lg{1\\over q} < 0 \\Rightarrow -1 < - \\lg q < 0 \\Rightarrow 0 < 1 - \\lg q < 1 \\Rightarrow \\lg {1\\over q} = -\\lg q = -1 + \\left(1 - \\lg q\\right).$$

a. 当 $0 < \\lg p < \\displaystyle{1\\over2}$ 时, $$\\Rightarrow 0 < 2\\lg p < 1\\Rightarrow 1 - \\lg q > 2\\lg p\\Rightarrow \\lg p^2q < 1 \\Rightarrow p^2q < 10.$$ 而 $2^2 \\times 3 = 12 > 10\\Rightarrow$ 无解.

b. 当 $\\displaystyle{1\\over2} \\le \\lg p < 1$ 时, $$\\Rightarrow \\sqrt{10} \\le p < 10 \\Rightarrow 0 \\le 2\\lg p - 1 < 1 \\Rightarrow 1 - \\lg q > 2\\lg p - 1 \\Rightarrow \\lg p^2q < 2 \\Rightarrow p^2q < 100.$$ 当 $(p, q) = 1$, $1 < q < p < 10$ 且 $\\sqrt{10} \\le p < 10$ 时, 满足题意的解为$$(p, q) = (4,3),\\ (5, 2),\\ (5, 3),\\ (7, 2).$$ 综上, $\\displaystyle{q \\over p} = {3\\over4},\\ {2\\over5},\\ {3 \\over5},\\ {2\\over7}$.

 

7、已知 $\\lg x, \\lg\\displaystyle{100\\over x}$ 的首数分别是 $a$ 和 $b$, 求 $3a^2 - 4b^2$ 的最大值.

解答:

设 $\\lg x = a + \\alpha$, $a\\in\\mathbf{Z}$, $0 \\le \\alpha < 1$, 则 $$\\lg{100\\over x} = 2 - \\lg x = 2 - a - \\alpha = 1 - a + 1 - \\alpha.$$ a. 若 $\\alpha = 0$, 则 $b = 2 - a$. $$3a^2 - 4b^2 = 3a^2 - 4(2-a)^2 = -a^2 + 16a - 16 = -\\left( a^2 - 16a + 64\\right) + 48$$ $$= -(a - 8)^2 + 48 \\le 48.$$ b. 若 $0 < \\alpha < 1$, 则 $b = 1-a$. $$3a^2 - 4b^2 = 3a^2 - 4(1-a)^2 = -a^2 + 8a - 4 = -\\left( a^2 - 8a + 16\\right) + 12$$ $$= -(a - 4)^2 + 12 \\le 12.$$ 综上, $\\left(3a^2 - 4b^2\\right)_\\text{max} = 48$, 此时 $x = 10^8$.

 

 

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