相机内参数优化中构建的模型需要使用到 distort 过程，是将相机归一化平面直角坐标系上的点（即相机坐标系 Z = 1 上的坐标）进行畸变的过程。之后使用相机内参矩阵变换为 uv 坐标。
undistort 过程一般应用中难以用到，所以一直没有注意。distort 过程的逆映射就是 undistort 过程。从数学公式上，这个函数是不可逆的，所以处理起来有些麻烦。
最近关注到这个问题，参考 kalibr 的代码 RadialTangentialDistortion::undistort，突然就看不懂这个代码了。数学基础不够扎实，方向错误，从 Inverse function theorem 处思考。从公式 (\\ref{inv_deri}) 着手思考，参考迭代计算平方根的代码，发现如何都不能得到结果。
于是转换方向。代码中的 (F.transpose() * F).inverse() * F.transpose() * e; 像是在优化，毕竟这个函数最明显的特征是迭代，这就是优化。于是参考以前用于理解优化理论的 MVG 书的 Appendix 6 Iterative Estimation Methods，得到结果。
最优化理论，就是一个通用的反函数方法，不求反函数的 closed-form，而求值域中一点对应的定义域中的点。
现在描述一遍 MVG 数 A6.1 Newton iteration，以为我自己加深印象，备查。
假设有观察值 \\(\\mathbf{X}\\) 是由某些变量的值 \\(\\mathbf{P}\\) 经过映射 \\(f\\) 得到的，可以写作 \\(\\mathbf{X} = f(\\mathbf{P})\\)，要对 \\(\\mathbf{P}\\) 进行估计，估计值为 \\(\\hat{\\mathbf{P}}\\)，标准是误差 \\(f(\\hat{\\mathbf{P}}) - \\mathbf{X} = \\mathbf{\\epsilon}\\) 的模 \\(\\|\\mathbf{\\epsilon}\\|\\) 最小化。
用迭代的方法做，选取一个初始值 \\(\\mathbf{P}_0\\)，此时的误差 \\(\\mathbf{\\epsilon}_0 = f(\\mathbf{P}_0) - \\mathbf{X}\\) 最小化。接下来我们要在 \\(\\mathbf{P}_0\\) 的附近选取一个新的值 \\(\\mathbf{P}_1 = \\mathbf{P}_0 + \\mathbf{\\Delta}\\)，使得 \\(\\|\\mathbf{\\epsilon}_1\\|\\) 最小化。\\(\\mathbf{P}_1\\) 在 \\(\\mathbf{P}_0\\) 的附近，所以可以用泰勒展开将 \\(f(\\mathbf{P}_1)\\) 与 \\(f(\\mathbf{P}_0)\\) 联系起来，\\(f(\\mathbf{P}_1) = f(\\mathbf{P}_0 + \\mathbf{\\Delta}) = f(\\mathbf{P}_0) + \\mathbf{J}\\mathbf{\\Delta}\\)。所以有 \\(\\mathbf{\\epsilon}_1 = f(\\mathbf{P}_1) - \\mathbf{X} = f(\\mathbf{P}_0) + \\mathbf{J}\\mathbf{\\Delta} - \\mathbf{X} = \\mathbf{\\epsilon}_0 + \\mathbf{J}\\mathbf{\\Delta}\\)，通过选择 \\(\\mathbf{\\Delta}\\) 最小化 \\(\\|\\mathbf{\\epsilon}_0 + \\mathbf{J}\\mathbf{\\Delta}\\|\\)，也就是最小化 \\((\\mathbf{\\epsilon}_0 + \\mathbf{J}\\mathbf{\\Delta})^T(\\mathbf{\\epsilon}_0 + \\mathbf{J}\\mathbf{\\Delta})\\)，接下来就是最小二乘法，通过求导使得导数等于 0，可以解算得到 \\(\\mathbf{\\Delta}\\)。每次都使得 \\(\\mathbf{\\epsilon}\\) 降低，最终收敛，可以得到 \\(\\hat{\\mathbf{P}}\\)。求导参考 矩阵求导的思考。