猴子摘桃

Posted 2020-08-05

问题描述：

　　一只猴子摘桃子，摘累了，决定休息一下再分桃子。过了一会，来了一只猴子，把所有桃子均分成了5份，结果多了1个，就把多出的吃了，然后拿走了其中的一份；过了一会，又来了一只猴子，它并不知道前面已经有猴子来过了，也把所有桃子均分成了5分，结果多了1个，就把多出的吃了，然后拿走了其中的一份；后面的第3、4、5只猴子也是同样的道理，分5份，吃一个，拿走一份。问这堆桃子最初总共至少有几个？最后又会剩几个？

问题解析：

　　第一只：5A₁ + 1；

　　第二只：5A₂ + 1 = 4A₁；

　　第三只：5A₃ + 1 = 4A₂；

　　第四只：5A₄ + 1 = 4A₃；

　　第五只：5A₅ + 1 = 4A₄；

　　最后剩余桃子数量：4A₅。

解法分析：

　　如果直接计算A₁——A₅，势必使计算非常复杂。仔细观察，可以发现如下关系：

　　5(A₂ + 1) = 4(A₁ + 1);

　　5(A₃ + 1) = 4(A₂ + 1);

　　5(A₄ + 1) = 4(A₃ + 1);

　　5(A₅ + 1) = 4(A₄ + 1);

　　=> A₅ + 1 = 4(A₄ + 1)/5 = ... = 4⁴(A₁ + 1)/5⁴

　　=> A₁最小为5⁴ - 1 = 624，此时A₅ = 255

　　=> 桃子最初至少有3121个，最后剩1020个。

结果相关：

　　等比数列：又称几何数列。是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。