分治算法
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了分治算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
例5、取余运算(mod)
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源程序名 mod.???（pas, c, cpp） 可执行文件名 mod.exe 输入文件名 mod.in 输出文件名 mod.out |
【问题描述】
输入b，p，k的值，求b^p mod k的值。其中b，p，k*k为长整型数。
【样例】
mod.in
2 10 9
mod.out
2^10 mod 9=7
【知识准备】
进制转换的思想、二分法。
【算法分析】
本题主要的难点在于数据规模很大(b, p都是长整型数)，对于bp显然不能死算，那样的话时间复杂度和编程复杂度都很大。
下面先介绍一个原理：a*b mod k＝(a mod k)*(b mod k)mod k。显然有了这个原理，就可以把较大的幂分解成较小的，因而免去高精度计算等复杂过程。
那么怎样分解最有效呢?显然对于任何一个自然数P，有p＝2*(p div 2)+p mod 2，如19＝2*(19 div 2)+19 mod 2＝2*9+1，利用上述原理就可以把b的19次方除以k的余数转换为求b的9次方除以k的余数，即b19=b2*9+1＝b*b9*b9，再进一步分解下去就不难求得整个问题的解。
这是一个典型的分治问题，具体实现的时候是用递推的方法来处理的，
如p=19，有
19=2*9+1 b19=b1*b9*b9
9=2*4+1 b9=b1*b4*b4
4=2*2+0 b4=b0*b2*b2
2=2*1+0 b2=b0*b1*b1
1＝2*0+1 b1=b1*b0*b0
反过来，我们可以从0出发，通过乘以2再加上一个0或1而推出1，2，4，9，19，这样就逐步得到了原来的指数，
进而递推出以b为底，依次以这些数为指数的自然数除以k的余数。
不难看出这里（倒推）每一次乘以2后要加的数就是19对应的二进制数的各位数字，即1，0，0，1，1，而19＝(10011)2，求解的过程也就是将二进制数还原为十进制数的过程。
具体实现请看下面的程序，程序中用数组binary存放p对应的二进制数，总位数为len，binary[1]存放最底位。变量rest记录每一步求得的余数。
1 var b,p,k,i,len,rest,temp:longint;
2 binary:array[1..32] of longint;
3 begin
4 assign(input,‘mod.in‘);
5 assign(output,‘mod.out‘);
6 reset(input);
7 rewrite(output);
8 readln(b,p,k); {输入三个数}
9 len:=0;
10 temp:=p;
11 while temp<>0 do {存放p的二进制转换}
12 begin
13 len:=len+1;
14 binary[len]:=temp mod 2; //也可以写成binary[len]:=temp and 1;
15 temp:=temp div 2 //也可以写成temp:=temp shr 1;
16 end;
17 rest:=1;
18 for i:=len downto 1 do {用二分法实现b^p mod k}
19 begin
20 temp:=rest*rest mod k;
21 if binary[i]=1 then rest:=b mod k * temp mod k {如果是奇数，就多乘b} //rest:=(b mod k * temp) mod k
22 else rest:=temp {否则就是rest*rest}
23 end;
24 writeln(b,‘^‘,p,‘ mod ‘,k,‘ = ‘,rest); {输出b^p mod k}
25 close(input);
26 close(output)
27 end.
例6 黑白棋子的移动(chessman)
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源程序名 chessman.???（pas, c, cpp） 可执行文件名 chessman.exe 输入文件名 chessman.in 输出文件名 chessman.out |
1 const max=100;
2 var n,st,sp:integer;
3 c:array[1..max] of char; {工作场所}
4
5 procedure print; {打印}
6 var i:integer;
7 begin
8 write(‘step‘,st:2,‘:‘);
9 for i:=1 to 2*n+2 do write(c[i]);
10 writeln;
11 st:=st+1
12 end;
13
14 procedure init(n:integer); {初始化}
15 var i:integer;
16 begin
17 st:=0;
18 sp:=2*n+1;
19 for i:=1 to n do c[i]:=‘o‘;
20 for i:=n+1 to 2*n do c[i]:=‘*‘;
21 c[2*n+1]:=‘-‘;c[2*n+2]:=‘-‘;
22 print
23 end;
24
25 procedure move(k:integer); {移动一步}//将两个横线（空）移到k处（以左横线位置为序号）
26 var j:integer;
27 begin
28 for j:=0 to 1 do begin c[sp+j]:=c[k+j];c[k+j]:=‘-‘;end;
29 sp:=k;
30 print
31 end;
32
33 procedure mv(n:integer); {主要过程}
34 var i,k:integer;
35 begin
36 if n=4 then begin
37 move(4);
38 move(8);
39 move(2);
40 move(7);
41 move(1)
42 end
43 else begin
44 move(n);
45 move(2*n-1);
46 mv(n-1)
47 end
48 end;
49
50 begin {main}
51 assign(input,‘chessman.in‘);
52 assign(output,‘chessman.out‘);
53 reset(input);
54 rewrite(output);
55 readln(n);
56 init(n);
57 mv(n);
58 close(input);
59 close(output)
60 end.
例7、小车问题（car）
【问题描述】
甲、乙两人同时从A地出发要尽快同时赶到 B地。出发时A 地有一辆小车，可是这辆小车除了驾驶员外只能带一人。已知甲、乙两人的步行速度一样，且小于车的速度。问：怎样利用小车才能使两人尽快同时到达。
【问题输入】
仅一行，三个数据分别表示 AB两地的距离s，人的步行速度a，车的速度 b。
【问题输出】
两人同时到达B地需要的最短时间。
【输入输出样例】
car.in
120 5 25
car.out
9.6000000000E+00
自己推了一下确实是这样的。数学太弱了。。。
1 var 2 s,a,b,k,x,t:real; 3 begin 4 assign(input,‘car.in‘); 5 reset(input); 6 assign(output,‘car.out‘); 7 rewrite(output); 8 readln(s,a,b); 9 k:=s*(a+b)/(3*a+b); 10 t:=k/b+(s-k)/a; 11 writeln(t:0:2); 12 close(input);close(output); 13 end.
1 program car1(input,output); 2 const zero=1e-4; 3 var s,a,b,c,c0,c1,t1,t2,t3,t4:real; 4 BEGIN 5 assign(input,’car.in’); 6 assign(output,’car.out’); 7 reset(input); 8 rewrite(output); 9 readln(s,a,b); 10 c0:=0; 11 c1:=s; 12 repeat 13 c:=(c0+c1)/2; 14 t3:=c/b; //甲到K乘汽车用时；也是乙走到C用时。即 乙TAC=甲TAK 15 t1:=t3+(s-c)/a; //甲到终点用时。即 甲TAB 16 t4:=(c-t3*a)/(a+b); //乙从C走，车从K来接乙相遇用时。即 乙TCD 17 t2:=t3+t4+(s-(t3+t4)*a)/b; //乙到终点用时。即 乙TAB 18 if t1<t2 then c1:=c else c0:=c; //甲的时间短，走得快，则让汽车少载一段甲；乙的时间短，走得快，则让汽车多载一段甲 19 until abs(t1-t2)<zero; 20 writeln(t1); 21 close(input); 22 close(output) 23 end.
【深入思考】
现在把上述问题稍改一下，已知 A、B两地相距 S=100公里，在A 地有 n人，现有一辆汽车，此汽车除司机外只能载 1 人，已知汽车的速度为 V1=50 公里/小时，人的速度为 V2=5公里/小时。要求设计一种方案，使得最后一个人用最少的时间到达B。
例8 麦森数（mason）
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源程序名 mason.???（pas, c, cpp） 可执行文件名 mason.exe 输入文件名 mason.in 输出文件名 mason.out |
【问题描述】
形如2p-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2p-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P(1000<P<3100000)，计算2p-1的位数和最后500位数字(用十进制高精度数表示)。
【输入】
文件中只包含一个整数P(1000<P<3100000)。
【输出】
第一行：十进制高精度数2p-1的位数；
第2~11行：十进制高精度数2p-1的最后500位数字(每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0)；
不必验证2p-1与P是否为素数。
【样例】
mason.in
1279
mason.out
386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087
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