来个 硬核 点 的， 谁来给出 广义相对论 时空曲率 的 定义公式

Posted 2020-11-28 凯特琳

时空曲率 的 定义公式？  嗯 ？  这是 什么？

 

比如，   牛顿第二定律  对  力 的 定义 是  F = ma，   这是 牛顿力学 、经典物理 对 力 的 定义   。

 

那么，   广义相对论 的   时空曲率 =  ？         这样 的 定义 和 公式 是 什么 ？

 

我 站在 地球 上，   向 前上方 扔出一块 小石头，   石头 的 运动轨迹 是 抛物线，   于是，  广义相对论 就说 ，   时空 是 弯曲 的，  石头 沿着 时空 的 短程线 运动，  这个 短程线 是 抛物线 。

 

那 反过来，   这个 抛物线 对应 的 时空曲率 是 多少 ？  请回答  。

 

广义相对论 拿不出 这个 时空曲率，  只是 嘴里 嚷嚷 着 ： “弯曲的， 是 弯曲的， ……   运动轨迹 是 抛物线，  时空 一定 是 弯曲 的 。”

 

我在 《我写了 一个 偏微分 方程， 这算是 广义相对论 的 时空曲率 吗 ？》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12486464.html  里说，  老爱 是 发现了 牛顿第二定律 的 二阶微分形式  d²s / dt² = a  ,   F = ma    和  黎曼几何 短程线 变分法 最小积分条件 之间 的 关系  。

 

但，  现在看起来，   事情 也许 不是 这个样子，    事情 也许 有点糟  。

 

打个比方，   我们 在 三维 里 放一个 曲面，  可以 是 实物，   比如 放 半个 西瓜皮 什么的，  西瓜皮 是 一个 半球面，  我们让 这个 半个 西瓜皮 的 内部 高低不平， 起起伏伏，  这样 从 西瓜皮 边上 放一个 玻璃珠，  让 它 在 西瓜皮 里 自由 的 滚下来，   可以看到，  玻璃珠 的 路径 和 初始位置 以及 沿路 的 高低起伏 的 “地形” 有关，    这些 高低起伏 的 “地形” 就是 曲率  。

可以看到，  玻璃珠 沿着 这些 曲率 滚动，    但是 滚过 的 路径 不一定 是 短程线   。

也可以说，  玻璃珠 的 初速度 、初始位置 、曲面曲率（曲面形状），    决定了  玻璃珠 的 滚动 路径，   但是 这个 路径 不一定 是 短程线 。

 

所以，  扔出的 石头 的 运动轨迹 是 抛物线，  这个 抛物线 是 受 引力（时空曲率 、时空形状） 作用 的 路径，  但 不见得 是 短程线  。

 

可以 对 广义相对论 提出 一个 问题 ：        以 扔石头 为例，   根据 抛物线 反推 出 短程线 是 抛物线 的 时空曲面（时空形状）  。

 

这个问题 是否 暴露了 一些 逻辑问题  先不管，   至少 有一点，    这 在 数学 上 几乎 是 不可能 的 。  不信的话，   问问 陈彼方（天辩阮幼台）  。

 

要 弄清楚 广义相对论 的 架构 很简单，   先 抛开 狭义相对论 的 时空效应，  单纯 根据 万有引力 公式  F = G M m / r ²   来 建立 一个 几何化 的 框架 就行 。  Who can ？

 

本文 引出了 一个 数学问题，   根据 一段 初等函数 曲线 反推 短程线 是 这段 曲线 的 曲面 。 也可以表达为，  已知 一段 初等函数 曲线， 求 短程线 是 这段 曲线 的 曲面  。

初等函数 曲线 可以是 平面 曲线，  也可以是 空间曲线  。

 

 

我在 《关于 牛顿 一个晚上 搞定 最速降线》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12944582.html   里 提出了 “ 曲面上常见的三种线”” ：   短程线 、最速降线 、自由降线  。

短程线 是 曲面 上 的 2 点 间 的 最短距离线  。

最速降线 ：    对于一个 曲面，  在 曲面 上 取 2 点，  在 2 点 间 在 曲面 上 画 一条线，  让 小球 沿着 这条线 在重力下滚动，  小球 从 一个点 最快 滚动 到 另一个 点 的 那条线，   就是 曲面 的 最速降线  。

自由降线 ：    将 一个 小球 放在 曲面 上，  让 它 在 重力作用 下 滚动，  小球 滚过 的 轨迹 就是  自由降线  。

 

请问，  广义相对论 里，  质点 在 引力场 里 的 运动轨迹  是  短程线 ？   最速降线 ？   自由降线 ？