回文数或回文数是指一个像14641这样“对称”的数,即:将这个数的数字按相反的顺序重新排列后,所得到的数和原来的数一样。这里,“回文”是指像“妈妈爱我,我爱妈妈”这样的,正读反读都相同的单词或句子。

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了回文数或回文数是指一个像14641这样“对称”的数,即:将这个数的数字按相反的顺序重新排列后,所得到的数和原来的数一样。这里,“回文”是指像“妈妈爱我,我爱妈妈”这样的,正读反读都相同的单词或句子。相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

回文数回文数是指一个像14641这样“对称”的,即:将这个数的数字按相反的顺序重新排列后,所得到的数和原来的数一样。这里,“回文”是指像“妈妈爱我,我爱妈妈”这样的,正读反读都相同的单词或句子

回文数在休闲数学领域备受关注。一个典型的问题就是,寻找那些具有某种特性,并且符合回文特征的数。例如:

巴克敏斯特·福乐在其着作《协同学》(Synergetics)中把回文数也叫做沙拉扎数(Scheherazade Numbers),沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相的女儿的名字。

直观地,在任意的进位制下都存在着无穷多个回文数。可以这样说明:在任意的基下,一个像101, 1001, 10001,… (即由一个1后接n个0再后接一个1)这样的数可组成一个无穷多项的序列,其各项全部都是回文数,因此这个基下的回文数有无穷多个(其中包括但不限于该序列中的无穷多个项)。

虽然通常是在十进制系统下来考虑回文数,但回文性的性质可推广用于任何记数系统中的自然数。考虑以 {displaystyle b (bgeq 2)}技术图片 为的数 {displaystyle n (ngt;0)}技术图片,在基 {displaystyle b}技术图片 下,{displaystyle n}技术图片 可按标准方式表示为 {displaystyle k+1}技术图片 个数字 {displaystyle a_{i}}技术图片,即:

{displaystyle n=sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}技术图片

其中,如惯例,对所有 {displaystyle i}技术图片 都要求 {displaystyle 0leq a_{i}leq b}技术图片,且 {displaystyle a_{k} eq 0}技术图片。 则 {displaystyle n}技术图片 称为回文数,当且仅当对所有 {displaystyle i}技术图片 都有{displaystyle a_{i}=a_{k-i}}技术图片在任何基下均写作 0 并由定义认为它也是回文数。

另一种等价的定义如下:在任意固定的基 {displaystyle b}技术图片 下,数{displaystyle n}技术图片称为回文的当且仅当:

  • {displaystyle n}技术图片是单个数字,或
  • {displaystyle n}技术图片为两个相同数字,或
  • {displaystyle n}技术图片由三个或更多数字组成,其首位和末位数字相同,且从{displaystyle n}技术图片中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文的。

10基数下,所有单个数字{0123456789}都是回文数。

两位数的回文数有9个:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}

三位数中有90个回文数:

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

四位数中也有90个回文数:

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999}

因此总共有199个小于104的回文数。小于105的回文数有1099个,对其它的10的整数幂10n来说,分别有:1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, ... (OEIS中的数列A070199)个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数(其中包括将0也作为一个回文数):

  101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n自然数 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n偶数 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n奇数 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n完全平方数 3 6 13 14 19  + +
n素数 4 5 20 113 781 5953
n因数中不含平方数的数 6 12 67 120 675  + + + + +
n为可被某平方数整除的数(即μ(n)=0) 3 6 41 78 423  + + + + +
n为素数的平方数 2 3 5
n具有偶数个相异的素因子(即μ(n)=1) 2 6 35 56 324 + + + + +
n具有奇数个相异的素因子(即μ(n)=-1) 5 7 33 65 352 + + + + +
n本身为偶数并具有奇数个素因子                    
n本身为偶数并具有奇数个相异的素因子 1 2 9 21 100 + + + + +
n本身为奇数并具有奇数个素因子 0 1 12 37 204 + + + + +
n本身为奇数并具有奇数个相异的素因子 0 0 4 24 139 + + + + +
n本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1 2 11 15 98 + + + + +
n本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1 4 24 41 226 + + + + +
n为奇数并具有正好两个素因子 1 4 25 39 205 + + + + +
n为偶数并具有正好两个素因子 2 3 11 64 + + + + +
n为偶数并具有正好三个素因子 1 3 14 24 122 + + + + +
n为偶数并具有正好三个相异的素因子                    
n为奇数并具有正好三个素因子 0 1 12 34 173 + + + + +
n卡迈克尔数 0 0 0 0 0 1+ + + + +
n为满足σ(n)是回文数的数 6 10 47 114 688 + + + + +

也可在十进制以外的其它数系中考虑回文数。例如,在二进制中的回文数有:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001,…

以上这些数在十进制中即:0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33,…(OEIS中的数列A006995)。梅森素数构成了二进制回文素数的一个子集。

通常在一个基数下的回文数在另一个基数下就不再是回文数。例如:1646110 = 404D16。(下标的数字表示的是基数,即n16表示以十六进制写出的n)。然而,有些数字在几个基数中都是回文数(称为“协回文的”,copalindromic),例如10510在五个不同的基数下都是回文数:12214 = 1518 = 7714 = 5520 = 3334;十进制数1991在十六进制中为7C7,也是回文的。

在以18为基时,7的一些幂是回文的:

  • 73 = 111
  • 74 = 777
  • 76 = 12321
  • 79 = 1367631

对任意数n,在所有b ≥ n + 1的基数b下都是回文的(因为这时n是一个单位数);在基为n−1时同样也是回文数(因为这时n就成了11n−1)。如果对于2 ≤ b ≤ n − 2,某数在基b下都是非回文数,则称其是一个严格非回文数(Strictly non-palindromic number)。例如6在二进制是110,三进制是20,四进制是12,都不是回文数,因此它是严格非回文数。这样的数其中一个特质是6以上的数都是质数。首几项:1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, ... (OEIS中的数列A016038)。

以上是关于回文数或回文数是指一个像14641这样“对称”的数,即:将这个数的数字按相反的顺序重新排列后,所得到的数和原来的数一样。这里,“回文”是指像“妈妈爱我,我爱妈妈”这样的,正读反读都相同的单词或句子。的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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实验二 判断回文数

判断一个数是否为回文数

求回文数